放物線をx軸方向に1、y軸方向に-2だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めます。具体的には、以下の3つの放物線に対して平行移動後の式を求めます。 (1) $y = -x^2$ (2) $y = 2x^2 + 4x$ (3) $y = 3x^2 + x - 4$

1. 問題の内容

放物線をx軸方向に1、y軸方向に-2だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めます。具体的には、以下の3つの放物線に対して平行移動後の式を求めます。

(1) $y = -x^2$

(2) $y = 2x^2 + 4x$

(3) $y = 3x^2 + x - 4$

2. 解き方の手順

平行移動の公式を利用します。放物線 $y = f(x)$ をx軸方向に$p$、y軸方向に$q$だけ平行移動すると、新しい放物線の方程式は $y - q = f(x - p)$ となります。すなわち、$y = f(x - p) + q$ となります。

(1) $y = -x^2$ の場合、x軸方向に1、y軸方向に-2だけ平行移動するので、$p = 1$, $q = -2$ です。したがって、

$y = -(x - 1)^2 - 2$

$y = -(x^2 - 2x + 1) - 2$

$y = -x^2 + 2x - 1 - 2$

$y = -x^2 + 2x - 3$

(2) $y = 2x^2 + 4x$ の場合、x軸方向に1、y軸方向に-2だけ平行移動するので、$p = 1$, $q = -2$ です。したがって、

$y = 2(x - 1)^2 + 4(x - 1) - 2$

$y = 2(x^2 - 2x + 1) + 4x - 4 - 2$

$y = 2x^2 - 4x + 2 + 4x - 4 - 2$

$y = 2x^2 - 4$

(3) $y = 3x^2 + x - 4$ の場合、x軸方向に1、y軸方向に-2だけ平行移動するので、$p = 1$, $q = -2$ です。したがって、

$y = 3(x - 1)^2 + (x - 1) - 4 - 2$

$y = 3(x^2 - 2x + 1) + x - 1 - 4 - 2$

$y = 3x^2 - 6x + 3 + x - 7$

$y = 3x^2 - 5x - 4$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^2 + 2x - 3$

(2) $y = 2x^2 - 4$

(3) $y = 3x^2 - 5x - 4$