方程式 $x^2 + |x-1| + |x-3| = 4$ を解く問題です。

1. 問題の内容

方程式 $x^2 + |x-1| + |x-3| = 4$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために、$x$ の範囲を3つに分けて考えます。

(i) $x \geq 3$ のとき

$x-1 > 0$ かつ $x-3 \geq 0$ なので、$|x-1| = x-1$ かつ $|x-3| = x-3$ となります。

よって、方程式は $x^2 + (x-1) + (x-3) = 4$ となり、$x^2 + 2x - 8 = 0$ と変形できます。

これを因数分解すると、$(x+4)(x-2) = 0$ となり、$x = -4, 2$ を得ます。

しかし、$x \geq 3$ の範囲で考えているので、$x = -4, 2$ は不適です。

(ii) $1 \leq x < 3$ のとき

$x-1 \geq 0$ かつ $x-3 < 0$ なので、$|x-1| = x-1$ かつ $|x-3| = -(x-3) = 3-x$ となります。

よって、方程式は $x^2 + (x-1) + (3-x) = 4$ となり、$x^2 + 2 = 4$ と変形できます。

さらに、$x^2 = 2$ となるので、$x = \pm \sqrt{2}$ となります。

$1 \leq x < 3$ の範囲で考えると、$x = \sqrt{2}$ が適します（$\sqrt{2} \approx 1.414$）。

(iii) $x < 1$ のとき

$x-1 < 0$ かつ $x-3 < 0$ なので、$|x-1| = -(x-1) = 1-x$ かつ $|x-3| = -(x-3) = 3-x$ となります。

よって、方程式は $x^2 + (1-x) + (3-x) = 4$ となり、$x^2 - 2x = 0$ と変形できます。

さらに、$x^2 - 2x = 0$ より、$x(x-2)=0$となるので、$x=0, 2$を得ます。

しかし、$x < 1$の範囲で考えているので、$x = 0$ が適します。$x=2$ は不適です。

3. 最終的な答え

$x = \sqrt{2}, 0$