次の式の2重根号をはずして簡単にせよ。 $\sqrt{\frac{2}{\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}}} - \sqrt{6}$

1. 問題の内容

次の式の2重根号をはずして簡単にせよ。

$\sqrt{\frac{2}{\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}}} - \sqrt{6}$

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$ を簡単にする。

$7 - 4\sqrt{3} = 7 - 2\sqrt{4 \cdot 3} = 7 - 2\sqrt{12}$

$4 + 3 = 7$ かつ $4 \times 3 = 12$ より、

$\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(4 + 3) - 2\sqrt{4 \cdot 3}} = \sqrt{(\sqrt{4} - \sqrt{3})^2} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = 2 - \sqrt{3}$

よって、

$\sqrt{\frac{2}{2 - \sqrt{3}}} - \sqrt{6}$

分母を有理化するために、分子と分母に $2 + \sqrt{3}$ をかける。

$\sqrt{\frac{2(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}} - \sqrt{6} = \sqrt{\frac{2(2 + \sqrt{3})}{4 - 3}} - \sqrt{6} = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \sqrt{6}$

ここで、$4 + 2\sqrt{3} = (3 + 1) + 2\sqrt{3 \cdot 1}$ なので、

$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = \sqrt{3} + 1$

したがって、

$\sqrt{3} + 1 - \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3} + 1 - \sqrt{6}$