1の3乗根のうち、虚数であるものの1つを $\omega$ とする。このとき、以下の2つの式の値を求めよ。 (1) $\omega^{2025}$ (2) $\omega^5 + \omega^4$

1. 問題の内容

1の3乗根のうち、虚数であるものの1つを $\omega$ とする。このとき、以下の2つの式の値を求めよ。

(1) $\omega^{2025}$

(2) $\omega^5 + \omega^4$

2. 解き方の手順

$\omega$ は1の3乗根であるから、$\omega^3 = 1$ が成り立つ。

また、$\omega$ は $x^3 = 1$ の解であるから、$x^3 - 1 = 0$ となる。

これは $(x-1)(x^2 + x + 1) = 0$ と因数分解できる。

$\omega$ は虚数であるから、$\omega \neq 1$ である。

したがって、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ が成り立つ。

(1) $\omega^{2025}$ の値を求める。

2025を3で割ると、$2025 = 3 \times 675$ である。

したがって、

$\omega^{2025} = \omega^{3 \times 675} = (\omega^3)^{675} = 1^{675} = 1$

(2) $\omega^5 + \omega^4$ の値を求める。

$\omega^5 = \omega^{3+2} = \omega^3 \cdot \omega^2 = 1 \cdot \omega^2 = \omega^2$

$\omega^4 = \omega^{3+1} = \omega^3 \cdot \omega = 1 \cdot \omega = \omega$

したがって、

$\omega^5 + \omega^4 = \omega^2 + \omega$

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ より、$\omega^2 + \omega = -1$ である。

よって、$\omega^5 + \omega^4 = -1$

3. 最終的な答え

(1) $\omega^{2025} = 1$

(2) $\omega^5 + \omega^4 = -1$