次の式の二重根号を外して簡単にせよという問題です。 $\sqrt{\frac{2}{7-4\sqrt{3}}} - \sqrt{6}$

1. 問題の内容

次の式の二重根号を外して簡単にせよという問題です。

$\sqrt{\frac{2}{7-4\sqrt{3}}} - \sqrt{6}$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{2}{7-4\sqrt{3}}$ の分母を有理化します。

$\frac{2}{7-4\sqrt{3}} = \frac{2(7+4\sqrt{3})}{(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})} = \frac{2(7+4\sqrt{3})}{49 - 16 \cdot 3} = \frac{2(7+4\sqrt{3})}{49 - 48} = 2(7+4\sqrt{3}) = 14 + 8\sqrt{3}$

したがって、$\sqrt{\frac{2}{7-4\sqrt{3}}} = \sqrt{14+8\sqrt{3}}$

次に、二重根号を外すために $\sqrt{14+8\sqrt{3}} = \sqrt{14 + 2\sqrt{16 \cdot 3}} = \sqrt{14 + 2\sqrt{48}}$ とします。

ここで、$a+b=14$, $ab=48$ となる $a, b$ を見つけることを考えます。

$a=6, b=8$ または $a=8, b=6$ が条件を満たします。

よって、$\sqrt{14+2\sqrt{48}} = \sqrt{8} + \sqrt{6} = 2\sqrt{2} + \sqrt{6}$

与式は、

$\sqrt{\frac{2}{7-4\sqrt{3}}} - \sqrt{6} = 2\sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2}$