実数 $a$ を定数とする。2次関数 $y = x^2 - 4x + 5$ の $0 \le x \le a$ における最大値と最小値を、$a$ が次の範囲にあるときにそれぞれ求めよ。 (i) $0 < a < 2$ (ii) $2 < a < 4$ (iii) $a > 4$

1. 問題の内容

実数 $a$ を定数とする。2次関数 $y = x^2 - 4x + 5$ の $0 \le x \le a$ における最大値と最小値を、$a$ が次の範囲にあるときにそれぞれ求めよ。

(i) $0 < a < 2$

(ii) $2 < a < 4$

(iii) $a > 4$

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数 $y = x^2 - 4x + 5$ を平方完成する。

$y = x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 - 4 + 5 = (x - 2)^2 + 1$

この2次関数のグラフは、頂点が $(2, 1)$ で下に凸の放物線である。

(i) $0 < a < 2$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ は頂点の $x$ 座標である $2$ より小さい範囲にある。

よって、最小値は $x = a$ のとき $y = a^2 - 4a + 5$ であり、最大値は $x = 0$ のとき $y = 0^2 - 4(0) + 5 = 5$ である。

(ii) $2 < a < 4$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ は頂点の $x$ 座標である $2$ を含む範囲にある。

よって、最小値は $x = 2$ のとき $y = (2 - 2)^2 + 1 = 1$ である。

最大値を考える。

$x=0$のとき$y = 5$であり、$x=a$のとき$y = a^2 - 4a + 5$である。

$a > 2$ のとき、$a^2 - 4a + 5 > 1$ である。

$y=x^2-4x+5$の軸$x=2$から$x=0$までの距離は$2$であり、$x=a$までの距離は$a-2$である。

$2<a<4$のとき、$0<a-2<2$であるから、$x=0$における$y$の値の方が$x=a$における$y$の値よりも大きい。

よって、最大値は $x = 0$ のとき $y = 5$ である。

(iii) $a > 4$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ は頂点の $x$ 座標である $2$ を含む範囲にある。

よって、最小値は $x = 2$ のとき $y = 1$ である。

最大値を考える。$a>4$のとき、$a-2 > 2$となり、$x=a$における$y$の値の方が$x=0$における$y$の値よりも大きい。

よって、最大値は $x = a$ のとき $y = a^2 - 4a + 5$ である。

3. 最終的な答え

(i) $0 < a < 2$ のとき：

最大値：$5$

最小値：$a^2 - 4a + 5$

(ii) $2 < a < 4$ のとき：

最大値：$5$

最小値：$1$

(iii) $a > 4$ のとき：

最大値：$a^2 - 4a + 5$

最小値：$1$