原点Oを中心とする半径2の円Oの外側を、半径1の円Cが円Oに外接しながら滑ることなく転がるとき、円C上の点Pの軌跡を考えます。ただし、点Pの始めの位置をA(2, 0)とします。円Cの中心CがOのまわりを$\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) だけ回転したときの点Pの座標を$(x, y)$として、$x, y$を$\theta$で表しなさい。

1. 問題の内容

原点Oを中心とする半径2の円Oの外側を、半径1の円Cが円Oに外接しながら滑ることなく転がるとき、円C上の点Pの軌跡を考えます。ただし、点Pの始めの位置をA(2, 0)とします。円Cの中心CがOのまわりを$\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) だけ回転したときの点Pの座標を$(x, y)$として、$x, y$を$\theta$で表しなさい。

2. 解き方の手順

円Oの中心をO、円Cの中心をC、点Pの位置ベクトルを$\vec{OP}$とします。円Cが円Oの外周を$\theta$だけ回転したとき、円C上の点Pは円Cの中心Cからどれだけ回転したかを考えます。円Cは円Oの周りを滑らずに回転するので、円Oの外周を円Cが転がった距離は$2\theta$です。円Cの半径は1なので、円C自身は$2\theta$回転します。始めの位置をA(2,0)とすると、点Pは円Cの中心Cから見て反時計回りに$2\theta$回転した位置にあります。

円Cの中心Cの位置ベクトル$\vec{OC}$は、円Oの半径が2、円Cの半径が1なので、

$\vec{OC} = (3\cos\theta, 3\sin\theta)$

と表せます。

点Pは、点Cを中心として、始めの位置から$2\theta$回転した位置にあります。始めの位置は、点Cから見てx軸方向に1だけ離れた点です。したがって、点Pの位置ベクトル$\vec{OP}$は、

$\vec{OP} = \vec{OC} + (\cos(2\theta + \pi), \sin(2\theta + \pi))$

$\vec{OP} = (3\cos\theta, 3\sin\theta) + (-\cos(2\theta), -\sin(2\theta))$

$\vec{OP} = (3\cos\theta - \cos(2\theta), 3\sin\theta - \sin(2\theta))$

したがって、点Pの座標$(x, y)$は、

$x = 3\cos\theta - \cos(2\theta)$

$y = 3\sin\theta - \sin(2\theta)$

と表されます。

3. 最終的な答え

$x = 3\cos\theta - \cos(2\theta)$

$y = 3\sin\theta - \sin(2\theta)$