三角形ABCにおいて、$\frac{\sin A}{5} = \frac{\sin B}{16} = \frac{\sin C}{19}$ が成り立つとき、最も大きい角Cの大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\frac{\sin A}{5} = \frac{\sin B}{16} = \frac{\sin C}{19}$ が成り立つとき、最も大きい角Cの大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

正弦定理より、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$ が成り立ちます。

与えられた条件より、

$\sin A : \sin B : \sin C = 5 : 16 : 19$ であるから、$a:b:c = 5:16:19$ となります。

したがって、$a = 5k, b = 16k, c = 19k$ (kは正の定数) とおくことができます。

最も大きい角は、最も長い辺の対角なので、角Cが最も大きい角となります。

余弦定理より、

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

$a = 5k, b = 16k, c = 19k$ を代入すると、

$\cos C = \frac{(5k)^2 + (16k)^2 - (19k)^2}{2(5k)(16k)}$

$\cos C = \frac{25k^2 + 256k^2 - 361k^2}{160k^2}$

$\cos C = \frac{-80k^2}{160k^2}$

$\cos C = -\frac{1}{2}$

$\cos C = -\frac{1}{2}$ となるのは $C = 120^\circ$ のときです。

3. 最終的な答え

最も大きい角の大きさは、120度です。