円 $x^2 + y^2 = 25$ に点 A(1, 7) から引いた2本の接線の方程式と、2つの接点を通る直線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 25$ に点 A(1, 7) から引いた2本の接線の方程式と、2つの接点を通る直線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 接線の方程式を求める。

円 $x^2 + y^2 = 25$ 上の点を $(x_1, y_1)$ とすると、この点における接線の方程式は

$x_1x + y_1y = 25$

と表せる。

この接線が点 A(1, 7) を通るので

$x_1 + 7y_1 = 25$

となる。

また、$(x_1, y_1)$ は円 $x^2 + y^2 = 25$ 上の点なので

$x_1^2 + y_1^2 = 25$

この2つの式から $x_1, y_1$ を求める。

$x_1 = 25 - 7y_1$ を $x_1^2 + y_1^2 = 25$ に代入して

$(25 - 7y_1)^2 + y_1^2 = 25$

$625 - 350y_1 + 49y_1^2 + y_1^2 = 25$

$50y_1^2 - 350y_1 + 600 = 0$

$y_1^2 - 7y_1 + 12 = 0$

$(y_1 - 3)(y_1 - 4) = 0$

$y_1 = 3, 4$

$y_1 = 3$ のとき $x_1 = 25 - 7(3) = 4$

$y_1 = 4$ のとき $x_1 = 25 - 7(4) = -3$

したがって、接点は (4, 3) と (-3, 4) である。

接線の方程式は

$4x + 3y = 25$

$-3x + 4y = 25$

(2) 2つの接点を通る直線の方程式を求める。

接点 (4, 3) と (-3, 4) を通る直線の方程式を求める。

傾きは $\frac{4-3}{-3-4} = -\frac{1}{7}$

よって、直線の方程式は

$y - 3 = -\frac{1}{7}(x - 4)$

$7y - 21 = -x + 4$

$x + 7y = 25$

3. 最終的な答え

2本の接線の方程式: $4x + 3y = 25$, $-3x + 4y = 25$

2つの接点を通る直線の方程式: $x + 7y = 25$