1枚の硬貨を2回投げる。表が出たら得点を1、裏が出たら得点を2とする。2回の合計得点を確率変数 $X$ とする。このとき、$X$ の期待値 $E(X)$、分散 $V(X)$、標準偏差 $\sigma(X)$ を求めよ。 $X$の取りうる値とその確率分布は、画像に示されている通り、$X=2,3,4$ で、それぞれの確率は $P(X=2) = \frac{1}{4}, P(X=3) = \frac{2}{4}, P(X=4) = \frac{1}{4}$ である。

1. 問題の内容

1枚の硬貨を2回投げる。表が出たら得点を1、裏が出たら得点を2とする。2回の合計得点を確率変数 $X$ とする。このとき、$X$ の期待値 $E(X)$、分散 $V(X)$、標準偏差 $\sigma(X)$ を求めよ。 $X$の取りうる値とその確率分布は、画像に示されている通り、$X=2,3,4$ で、それぞれの確率は $P(X=2) = \frac{1}{4}, P(X=3) = \frac{2}{4}, P(X=4) = \frac{1}{4}$ である。

2. 解き方の手順

まず、期待値 $E(X)$ を計算する。

$E(X) = \sum_{i} x_i P(X=x_i)$

$E(X) = 2 \times \frac{1}{4} + 3 \times \frac{2}{4} + 4 \times \frac{1}{4} = \frac{2}{4} + \frac{6}{4} + \frac{4}{4} = \frac{12}{4} = 3$

次に、分散 $V(X)$ を計算する。

$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

$E(X^2) = \sum_{i} x_i^2 P(X=x_i) = 2^2 \times \frac{1}{4} + 3^2 \times \frac{2}{4} + 4^2 \times \frac{1}{4} = 4 \times \frac{1}{4} + 9 \times \frac{2}{4} + 16 \times \frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{16}{4} = \frac{38}{4} = \frac{19}{2} = 9.5$

$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{19}{2} - 3^2 = \frac{19}{2} - 9 = \frac{19}{2} - \frac{18}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$

最後に、標準偏差 $\sigma(X)$ を計算する。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$E(X) = 3$

$V(X) = \frac{1}{2}$

$\sigma(X) = \frac{\sqrt{2}}{2}$