母平均が120、母標準偏差が30である母集団から、大きさ100の無作為標本を抽出する。このとき、標本平均$\overline{X}$の標準偏差を求め、さらに$\overline{X}$が123より大きい値をとる確率を求める問題です。

1. 問題の内容

母平均が120、母標準偏差が30である母集団から、大きさ100の無作為標本を抽出する。このとき、標本平均$\overline{X}$の標準偏差を求め、さらに$\overline{X}$が123より大きい値をとる確率を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 標本平均$\overline{X}$の標準偏差を求める。

母標準偏差を$\sigma$、標本サイズを$n$とすると、標本平均$\overline{X}$の標準偏差$\sigma_{\overline{X}}$は以下の式で求められます。

$\sigma_{\overline{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

問題文より、$\sigma = 30$、$n = 100$なので、

$\sigma_{\overline{X}} = \frac{30}{\sqrt{100}} = \frac{30}{10} = 3$

(2) 標本平均$\overline{X}$が123より大きい値をとる確率を求める。

$\overline{X}$は近似的に正規分布$N(120, 3^2)$に従うので、標準化を行います。標準化された変数を$Z$とすると、

$Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma_{\overline{X}}}$

ここで、$\mu = 120$、$\sigma_{\overline{X}} = 3$なので、$\overline{X} = 123$のときの$Z$は、

$Z = \frac{123 - 120}{3} = \frac{3}{3} = 1$

したがって、$P(\overline{X} > 123) = P(Z > 1)$を求めればよいです。標準正規分布表を参照すると、$P(Z > 1) = 0.1587$となります。

3. 最終的な答え

標本平均$\overline{X}$の標準偏差は3です。

標本平均$\overline{X}$が123より大きい値をとる確率は0.1587です。