正規分布 $N(m, \sigma^2)$に従う変数$X$について、$|X-m| \ge k\sigma$ の範囲に入る確率が与えられた値になるように、正の定数$k$の値を定める問題です。ここで、与えられた確率の値は、(1) 0.006, (2) 0.016, (3) 0.242 の3つです。

1. 問題の内容

正規分布 $N(m, \sigma^2)$に従う変数$X$について、$|X-m| \ge k\sigma$ の範囲に入る確率が与えられた値になるように、正の定数$k$の値を定める問題です。ここで、与えられた確率の値は、(1) 0.006, (2) 0.016, (3) 0.242 の3つです。

2. 解き方の手順

$Z = \frac{X-m}{\sigma}$ とおくと、$Z$は標準正規分布 $N(0,1)$ に従います。

$|X-m| \ge k\sigma$ は $\left| \frac{X-m}{\sigma} \right| \ge k$ と同値なので、$\left| Z \right| \ge k$ となります。

求める確率は $P(|Z| \ge k) = P(Z \ge k) + P(Z \le -k) = 2P(Z \ge k)$ となります。ここで、標準正規分布の確率分布関数の値を利用して$k$を求めます。

$P(Z \ge k) = \alpha$ とすると、$P(Z \le k) = 1-\alpha$となります。

(1) $P(|Z| \ge k) = 0.006$ のとき、

$2P(Z \ge k) = 0.006$ より $P(Z \ge k) = 0.003$ となります。

したがって、$P(Z \le k) = 1 - 0.003 = 0.997$ となります。標準正規分布表から、$k \approx 2.75$となります。

(2) $P(|Z| \ge k) = 0.016$ のとき、

$2P(Z \ge k) = 0.016$ より $P(Z \ge k) = 0.008$ となります。

したがって、$P(Z \le k) = 1 - 0.008 = 0.992$ となります。標準正規分布表から、$k \approx 2.41$となります。

(3) $P(|Z| \ge k) = 0.242$ のとき、

$2P(Z \ge k) = 0.242$ より $P(Z \ge k) = 0.121$ となります。

したがって、$P(Z \le k) = 1 - 0.121 = 0.879$ となります。標準正規分布表から、$k \approx 1.17$となります。

3. 最終的な答え

(1) $k \approx 2.75$

(2) $k \approx 2.41$

(3) $k \approx 1.17$