ある県の高校2年生の男子の身長が、平均170.0cm、標準偏差5.2cmの正規分布に従うとする。 (1) 身長が165cm以上の生徒は約何%いるか。整数値で答えよ。 (2) 身長の高い方から10%の中に入るのは、何cm以上の生徒か。最も小さい整数値で答えよ。

1. 問題の内容

ある県の高校2年生の男子の身長が、平均170.0cm、標準偏差5.2cmの正規分布に従うとする。

(1) 身長が165cm以上の生徒は約何%いるか。整数値で答えよ。

(2) 身長の高い方から10%の中に入るのは、何cm以上の生徒か。最も小さい整数値で答えよ。

2. 解き方の手順

(1)

身長を$X$とすると、$X$は正規分布$N(170, 5.2^2)$に従う。

$Z = \frac{X - 170}{5.2}$とおくと、$Z$は標準正規分布$N(0, 1)$に従う。

$X \ge 165$のとき、$Z \ge \frac{165 - 170}{5.2} = \frac{-5}{5.2} \approx -0.96$

標準正規分布表から、$P(Z \ge -0.96) = P(Z \le 0.96) = 0.8315$

したがって、身長が165cm以上の生徒は約83%である。

(2)

身長の高い方から10%に入るということは、$Z$の値が上位10%に入るということである。

標準正規分布表から、$P(Z \ge z) = 0.1$となる$z$を求める。

$P(Z \le z) = 0.9$となる$z$を求めると、$z \approx 1.28$

$Z = \frac{X - 170}{5.2}$より、$X = 5.2Z + 170$

$X = 5.2 \times 1.28 + 170 = 6.656 + 170 = 176.656$

したがって、身長の高い方から10%の中に入るのは、177cm以上の生徒である。

3. 最終的な答え

(1) 約83%

(2) 177cm