実質所得$Y=1$を得る消費者の効用関数が$U(c_1, c_2) = 100 + 0.9 c_1^{0.7} c_2^{0.3}$で与えられている。制約条件$Y = c_1 + s$ と $(1 + r)s = c_2$の下で、効用を最大化する問題の、現在の消費$c_1$の値を求めよ。

1. 問題の内容

実質所得$Y=1$を得る消費者の効用関数が$U(c_1, c_2) = 100 + 0.9 c_1^{0.7} c_2^{0.3}$で与えられている。制約条件$Y = c_1 + s$ と $(1 + r)s = c_2$の下で、効用を最大化する問題の、現在の消費$c_1$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、制約条件を効用関数に代入して、変数を減らします。$Y=1$であることと、$s = Y - c_1$より、$s = 1 - c_1$です。

これを$c_2 = (1 + r)s$に代入すると、$c_2 = (1 + r)(1 - c_1)$となります。

次に、この$c_2$を効用関数に代入して、$c_1$に関する関数として表します。

$$U(c_1) = 100 + 0.9 c_1^{0.7} ((1 + r)(1 - c_1))^{0.3} = 100 + 0.9 (1 + r)^{0.3} c_1^{0.7} (1 - c_1)^{0.3}$$

効用最大化のため、$U(c_1)$を$c_1$で微分して0とおきます。

$$\frac{dU}{dc_1} = 0.9 (1 + r)^{0.3} \left( 0.7 c_1^{-0.3} (1 - c_1)^{0.3} + c_1^{0.7} (0.3) (1 - c_1)^{-0.7} (-1) \right) = 0$$

$c_1^{-0.3} (1 - c_1)^{-0.7}$で括ると、

$$0.7 (1 - c_1) - 0.3 c_1 = 0$$

$$0.7 - 0.7 c_1 - 0.3 c_1 = 0$$

$$0.7 = c_1$$

3. 最終的な答え

現在の消費$c_1$は0.7になります。

$c_1 = 0.7$