半径 $r$ の円弧の一部（1/4が切り取られている）に沿って、質量 $m$ の物体を点Aから滑らせる。重力加速度の大きさは $g$ とする。 (1) 初速度0で滑らせたとき、最下点Bでの物体の速さ $v_B$ と、そのときの垂直抗力 $N_B$ を求める。 (2) 初速度 $v_0$ で滑らせたとき、最下点Bでの物体の速さ $v_B$ と、そのときの垂直抗力 $N_B$ を求める。 (3) 初速度 $v_1$ で滑らせたとき、物体が壁から離れずに点Cまで滑るための、初速度 $v_1$ の条件を求める（点Cで垂直抗力が0以上である条件）。

## 回答

1. 問題の内容

半径 $r$ の円弧の一部（1/4が切り取られている）に沿って、質量 $m$ の物体を点Aから滑らせる。重力加速度の大きさは $g$ とする。

(1) 初速度0で滑らせたとき、最下点Bでの物体の速さ $v_B$ と、そのときの垂直抗力 $N_B$ を求める。

(2) 初速度 $v_0$ で滑らせたとき、最下点Bでの物体の速さ $v_B$ と、そのときの垂直抗力 $N_B$ を求める。

(3) 初速度 $v_1$ で滑らせたとき、物体が壁から離れずに点Cまで滑るための、初速度 $v_1$ の条件を求める（点Cで垂直抗力が0以上である条件）。

2. 解き方の手順

(1) 初速度0の場合

* エネルギー保存則: 点Aでの位置エネルギーは $mgr$ であり、点Bでの運動エネルギーは $\frac{1}{2}mv_B^2$ である。エネルギー保存則より、

$mgr = \frac{1}{2}mv_B^2$

$v_B = \sqrt{2gr}$

* 点Bでの力の釣り合い：下向きに重力 $mg$ 、上向きに垂直抗力 $N_B$ が働き、向心力は $\frac{mv_B^2}{r}$ である。

$N_B - mg = \frac{mv_B^2}{r}$

$N_B = mg + \frac{m(2gr)}{r} = 3mg$

(2) 初速度 $v_0$ の場合

* エネルギー保存則：点Aでのエネルギーは $\frac{1}{2}mv_0^2 + mgr$ であり、点Bでの運動エネルギーは $\frac{1}{2}mv_B^2$ である。エネルギー保存則より、

$\frac{1}{2}mv_0^2 + mgr = \frac{1}{2}mv_B^2$

$v_B = \sqrt{v_0^2 + 2gr}$

* 点Bでの力の釣り合い：下向きに重力 $mg$ 、上向きに垂直抗力 $N_B$ が働き、向心力は $\frac{mv_B^2}{r}$ である。

$N_B - mg = \frac{mv_B^2}{r}$

$N_B = mg + \frac{m(v_0^2 + 2gr)}{r} = mg + \frac{mv_0^2}{r} + 2mg = 3mg + \frac{mv_0^2}{r}$

(3) 点Cまで滑る条件

* エネルギー保存則：点Aでのエネルギーは $\frac{1}{2}mv_1^2 + mgr$ であり、点Cでのエネルギーは $mg(r\cos90^\circ)+ \frac{1}{2}mv_C^2= \frac{1}{2}mv_C^2$ である。エネルギー保存則より、

$\frac{1}{2}mv_1^2 + mgr = mgr+\frac{1}{2}mv_C^2$.　

$\frac{1}{2}mv_1^2 + mgr = mg(r+\frac{1}{2}r)+\frac{1}{2}mv_C^2=\frac{1}{2}mgr+\frac{1}{2}mv_C^2$.　(円弧の中心からCまでの高さはr/2)

$\frac{1}{2}mv_1^2 + mgr = mg(2r)+\frac{1}{2}mv_C^2$.

* 点Cでの力の釣り合い：重力の半径方向成分 $mg$ が向心力 $m v_C^2 / r$ 以上であれば良い ($N_C \geq 0$) 。

点Cでの垂直抗力がちょうど0のとき，$mg\cos \theta=mg/ \sqrt{2}= \frac{m v_c^2}{r}$. ゆえに，$v_c^2=gr/\sqrt{2}$.

* したがって,

$\frac{1}{2}mv_1^2 + mgr = \frac{1}{2}mv_C^2 +mgr+\frac{1}{2}mgr = mgr+\frac{1}{2}( \frac{mgr}{ \sqrt{2}})$

$\frac{1}{2}v_1^2 = \frac{gr}{2(\sqrt{2}+1)}$

$v_1^2 = gr/2 +mgr= 2gr$

$v_1= \sqrt{gr/(\sqrt{2}+1)}$.

3. 最終的な答え

(1) $v_B = \sqrt{2gr}$, $N_B = 3mg$

(2) $v_B = \sqrt{v_0^2 + 2gr}$, $N_B = 3mg + \frac{mv_0^2}{r}$

(3) $v_1 \geq \sqrt{gr}$