実質所得 $Y = 1$ を得る消費者の効用関数が $U(c_1, c_2) = 100 + 0.9c_1^{0.7} c_2^{0.3}$ のとき、効用最大化問題 $\max_{\{c_1, c_2, s\}} U(c_1, c_2)$ 制約条件 $Y = c_1 + s$, $(1+r)s = c_2$ を解き、現在の消費 $c_1$ を求める。

1. 問題の内容

実質所得 $Y = 1$ を得る消費者の効用関数が $U(c_1, c_2) = 100 + 0.9c_1^{0.7} c_2^{0.3}$ のとき、効用最大化問題

$\max_{\{c_1, c_2, s\}} U(c_1, c_2)$

制約条件 $Y = c_1 + s$, $(1+r)s = c_2$

を解き、現在の消費 $c_1$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、制約条件を効用関数に代入して、sを変数とした最大化問題を解く。

$Y = c_1 + s$ より、$c_1 = Y - s = 1 - s$

$(1+r)s = c_2$

これらを効用関数に代入すると、

$U(s) = 100 + 0.9(1-s)^{0.7} ((1+r)s)^{0.3}$

ラグランジュ乗数法を使うよりも、限界代替率と価格比率が等しいという条件を使う方が簡単。

効用関数を $U(c_1, c_2) = 100 + 0.9c_1^{0.7} c_2^{0.3}$ とする。

$\frac{\partial U}{\partial c_1} = 0.9 * 0.7 c_1^{-0.3} c_2^{0.3} = 0.63 c_1^{-0.3} c_2^{0.3}$

$\frac{\partial U}{\partial c_2} = 0.9 * 0.3 c_1^{0.7} c_2^{-0.7} = 0.27 c_1^{0.7} c_2^{-0.7}$

$MRS = \frac{\partial U / \partial c_1}{\partial U / \partial c_2} = \frac{0.63 c_1^{-0.3} c_2^{0.3}}{0.27 c_1^{0.7} c_2^{-0.7}} = \frac{0.63}{0.27} \frac{c_2}{c_1} = \frac{7}{3} \frac{c_2}{c_1}$

予算制約は $c_1 + \frac{c_2}{1+r} = 1$

したがって、$\frac{p_1}{p_2} = 1+r$

最適消費条件は、$MRS = \frac{p_1}{p_2}$

$\frac{7}{3} \frac{c_2}{c_1} = 1+r$

$c_2 = \frac{3(1+r)}{7} c_1$

これを予算制約に代入する。

$c_1 + \frac{3(1+r)}{7(1+r)} c_1 = 1$

$c_1 + \frac{3}{7} c_1 = 1$

$\frac{10}{7} c_1 = 1$

$c_1 = \frac{7}{10} = 0.7$

3. 最終的な答え

$c_1 = 0.7$