ド・モアブルの定理を利用して、$(\sqrt{3} - i)^6$ を計算します。

1. 問題の内容

ド・モアブルの定理を利用して、$(\sqrt{3} - i)^6$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、複素数 $\sqrt{3} - i$ を極形式で表します。

$\sqrt{3} - i$ の絶対値 $r$ は、

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

偏角 $\theta$ は、

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin \theta = -\frac{1}{2}$

となるので、$\theta = -\frac{\pi}{6}$

したがって、

$\sqrt{3} - i = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$

ド・モアブルの定理より、

$(\sqrt{3} - i)^6 = \left[2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)\right]^6$

$= 2^6 \left(\cos\left(-\frac{\pi}{6} \times 6\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{6} \times 6\right)\right)$

$= 64(\cos(-\pi) + i\sin(-\pi))$

$= 64(-1 + i \cdot 0)$

$= -64$

3. 最終的な答え

-64