次の３つの和を求める問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} k(k^2+1)$ (2) $\sum_{k=1}^{n} (3nk+k^2)$ (3) $\sum_{k=5}^{14} (2k-9)$

1. 問題の内容

次の３つの和を求める問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} k(k^2+1)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (3nk+k^2)$

(3) $\sum_{k=5}^{14} (2k-9)$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} k(k^2+1)$

展開してから、$\sum$ の性質を使って計算します。

$\sum_{k=1}^{n} k(k^2+1) = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + k)$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{ \frac{n(n+1)}{2} \right\}^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} (k^3+k) = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)}{4} \{ n(n+1) + 2 \}$

$= \frac{n(n+1)(n^2+n+2)}{4}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (3nk+k^2)$

$\sum$ の性質と公式を使って計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (3nk+k^2) = 3n \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} k^2$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} (3nk+k^2) = 3n \cdot \frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$= \frac{3n^2(n+1)}{2} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$= \frac{n(n+1)}{6} \{ 9n + (2n+1) \}$

$= \frac{n(n+1)(11n+1)}{6}$

(3) $\sum_{k=5}^{14} (2k-9)$

$\sum_{k=1}^{14} (2k-9) - \sum_{k=1}^{4} (2k-9)$として計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k-9) = 2\sum_{k=1}^{n} k - 9\sum_{k=1}^{n} 1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 9n = n(n+1) - 9n = n^2+n-9n = n^2 - 8n$

$\sum_{k=5}^{14} (2k-9) = \sum_{k=1}^{14} (2k-9) - \sum_{k=1}^{4} (2k-9)$

$= (14^2 - 8 \cdot 14) - (4^2 - 8 \cdot 4)$

$= (196 - 112) - (16 - 32)$

$= 84 - (-16)$

$= 84 + 16 = 100$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(n+1)(n^2+n+2)}{4}$

(2) $\frac{n(n+1)(11n+1)}{6}$

(3) $100$