次の2次方程式が重解を持つときの定数 $m$ の値を求め、その重解も求める。 (1) $x^2 + 2x + m - 3 = 0$ (2) $x^2 + 4mx + 25 = 0$ (3) $4x^2 + (m+2)x + m - 1 = 0$

1. 問題の内容

次の2次方程式が重解を持つときの定数 $m$ の値を求め、その重解も求める。

(1) $x^2 + 2x + m - 3 = 0$

(2) $x^2 + 4mx + 25 = 0$

(3) $4x^2 + (m+2)x + m - 1 = 0$

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac = 0$ となることです。それぞれの式で $m$ の値を求め、その $m$ の値を用いて重解を求めます。

(1) $x^2 + 2x + m - 3 = 0$ の場合

$a = 1, b = 2, c = m - 3$ なので、判別式 $D = 2^2 - 4(1)(m-3) = 0$ を解きます。

$4 - 4m + 12 = 0$

$-4m = -16$

$m = 4$

$m = 4$ のとき、方程式は $x^2 + 2x + 4 - 3 = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 = 0$ となります。

したがって、重解は $x = -1$ です。

(2) $x^2 + 4mx + 25 = 0$ の場合

$a = 1, b = 4m, c = 25$ なので、判別式 $D = (4m)^2 - 4(1)(25) = 0$ を解きます。

$16m^2 - 100 = 0$

$16m^2 = 100$

$m^2 = \frac{100}{16} = \frac{25}{4}$

$m = \pm \frac{5}{2}$

$m = \frac{5}{2}$ のとき、方程式は $x^2 + 4(\frac{5}{2})x + 25 = x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2 = 0$ となります。

したがって、重解は $x = -5$ です。

$m = -\frac{5}{2}$ のとき、方程式は $x^2 + 4(-\frac{5}{2})x + 25 = x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2 = 0$ となります。

したがって、重解は $x = 5$ です。

(3) $4x^2 + (m+2)x + m - 1 = 0$ の場合

$a = 4, b = m+2, c = m - 1$ なので、判別式 $D = (m+2)^2 - 4(4)(m-1) = 0$ を解きます。

$m^2 + 4m + 4 - 16(m-1) = 0$

$m^2 + 4m + 4 - 16m + 16 = 0$

$m^2 - 12m + 20 = 0$

$(m-2)(m-10) = 0$

$m = 2, 10$

$m = 2$ のとき、方程式は $4x^2 + (2+2)x + 2 - 1 = 4x^2 + 4x + 1 = (2x+1)^2 = 0$ となります。

したがって、重解は $x = -\frac{1}{2}$ です。

$m = 10$ のとき、方程式は $4x^2 + (10+2)x + 10 - 1 = 4x^2 + 12x + 9 = (2x+3)^2 = 0$ となります。

したがって、重解は $x = -\frac{3}{2}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $m = 4$, 重解 $x = -1$

(2) $m = \frac{5}{2}$ のとき、重解 $x = -5$, $m = -\frac{5}{2}$ のとき、重解 $x = 5$

(3) $m = 2$ のとき、重解 $x = -\frac{1}{2}$, $m = 10$ のとき、重解 $x = -\frac{3}{2}$