2次方程式 $x^2 - 2(m+1)x + 4m = 0$ が重解を持つとき、定数 $m$ の値と、そのときの重解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2(m+1)x + 4m = 0$ が重解を持つとき、定数 $m$ の値と、そのときの重解を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ が $D=0$ となることです。

この問題では、$a=1$, $b=-2(m+1)$, $c=4m$ なので、判別式は

$D = (-2(m+1))^2 - 4(1)(4m)$

$D = 4(m+1)^2 - 16m$

$D = 4(m^2 + 2m + 1) - 16m$

$D = 4m^2 + 8m + 4 - 16m$

$D = 4m^2 - 8m + 4$

$D = 4(m^2 - 2m + 1)$

$D = 4(m-1)^2$

重解を持つためには $D=0$ である必要があるので、$4(m-1)^2 = 0$ を解きます。

$(m-1)^2 = 0$

$m-1 = 0$

$m = 1$

$m=1$ を元の2次方程式に代入すると、$x^2 - 2(1+1)x + 4(1) = 0$ となり、

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x-2)^2 = 0$

$x = 2$

3. 最終的な答え

$m = 1$ のとき、重解は $x = 2$。