与えられた2つの3次方程式を解きます。 (1) $x^3 = 8$ (2) $x^3 + 1 = 0$

1. 問題の内容

与えられた2つの3次方程式を解きます。

(1) $x^3 = 8$

(2) $x^3 + 1 = 0$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 = 8$ を解く。

まず、式を $x^3 - 8 = 0$ と変形します。

左辺は因数分解できることを利用します。

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を用いると、

$x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0$ となります。

したがって、$x - 2 = 0$ または $x^2 + 2x + 4 = 0$ です。

$x - 2 = 0$ より、$x = 2$ が得られます。

$x^2 + 2x + 4 = 0$ については、解の公式を用いると、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = -1 \pm \sqrt{3}i$ となります。

(2) $x^3 + 1 = 0$ を解く。

式を $x^3 + 1 = 0$ とします。

左辺は因数分解できることを利用します。

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を用いると、

$x^3 + 1^3 = (x + 1)(x^2 - x + 1) = 0$ となります。

したがって、$x + 1 = 0$ または $x^2 - x + 1 = 0$ です。

$x + 1 = 0$ より、$x = -1$ が得られます。

$x^2 - x + 1 = 0$ については、解の公式を用いると、

$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = 2, -1 + \sqrt{3}i, -1 - \sqrt{3}i$

(2) $x = -1, \frac{1 + \sqrt{3}i}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}i}{2}$