問題A：頂点が(1, 8)で、$x$軸と異なる2点A, Bで交わり、$AB = 4$を満たす2次関数を求める。 問題B：以下の3つの条件を満たす2次関数を求める。 (I) 問題Aで求めた2次関数のグラフを平行移動したもの。 (II) $x$軸と異なる2点C, Dで交わり、$CD = 6$を満たす。 (III) 点(1, 10)を通る。 (1) (ア)に当てはまるグラフを選ぶ。 (イ)～(エ)に当てはまる数を答える。 (2)(i) (オ)、(カ)に当てはまる式を答える。ただし、(オ) < (カ)とする。

1. 問題の内容

問題A：頂点が(1, 8)で、$x$軸と異なる2点A, Bで交わり、$AB = 4$を満たす2次関数を求める。

問題B：以下の3つの条件を満たす2次関数を求める。

(I) 問題Aで求めた2次関数のグラフを平行移動したもの。

(II) $x$軸と異なる2点C, Dで交わり、$CD = 6$を満たす。

(III) 点(1, 10)を通る。

(1) (ア)に当てはまるグラフを選ぶ。

(イ)～(エ)に当てはまる数を答える。

(2)(i) (オ)、(カ)に当てはまる式を答える。ただし、(オ) < (カ)とする。

2. 解き方の手順

問題Aについて:

頂点が(1, 8)なので、軸は$x = 1$である。$AB = 4$なので、点(1, 0)から点A, Bの$x$座標は等距離にある。したがって、$A(1 - 2, 0)$, $B(1 + 2, 0)$なので、$A(-1, 0)$, $B(3, 0)$となる。よって、求める2次関数のグラフの概形は上に凸であるから、(ア)は2。

$y = a(x + 1)(x - 3)$とおける。(イ)は1, (ウ)は3。

これが点(1, 8)を通るので、$8 = a(1 + 1)(1 - 3) = a(2)(-2) = -4a$。よって、$a = -2$。(エ)は-2。

問題Bについて:

$x$軸との交点の$x$座標を$p$を用いて表すと、$CD = 6$より、$x = p - 3, p + 3$。(オ)は$p - 3$, (カ)は$p + 3$。

3. 最終的な答え

(1) (ア): 2, (イ): 1, (ウ): 3, (エ): -2

(2)(i) (オ): $p - 3$, (カ): $p + 3$