与えられた数 $a = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$ に対して、以下の問題を解く。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にすること。 (2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求め、さらに $a^2 - b^2$ の値を求めること。 (3) (2) で求めた $b$ の値を用いて、不等式 $p < x < p + 4b$ を満たす整数 $x$ が3個あり、その3個の整数の和が0となるときの $p$ の値の範囲を求めること。

1. 問題の内容

与えられた数 $a = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$ に対して、以下の問題を解く。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にすること。

(2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求め、さらに $a^2 - b^2$ の値を求めること。

(3) (2) で求めた $b$ の値を用いて、不等式 $p < x < p + 4b$ を満たす整数 $x$ が3個あり、その3個の整数の和が0となるときの $p$ の値の範囲を求めること。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化する。

分母と分子に $3 + 2\sqrt{2}$ をかける。

$a = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3 + 2\sqrt{2}$

(2) $a = 3 + 2\sqrt{2}$ の整数部分と小数部分を求める。

$2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ であり、$2 < \sqrt{8} < 3$ であるから、$5 < 3 + 2\sqrt{2} < 6$ である。

したがって、$a$ の整数部分は5である。

$a$ の小数部分 $b$ は $a - 5$ であり、$b = 3 + 2\sqrt{2} - 5 = 2\sqrt{2} - 2$ である。

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を計算する。

$a + b = (3 + 2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2} - 2) = 1 + 4\sqrt{2}$

$a - b = (3 + 2\sqrt{2}) - (2\sqrt{2} - 2) = 5$

$a^2 - b^2 = (1 + 4\sqrt{2}) \times 5 = 5 + 20\sqrt{2}$

(3) 不等式 $p < x < p + 4b$ を満たす整数 $x$ が3個あり、その和が0である。

$b = 2\sqrt{2} - 2$ なので、$4b = 8\sqrt{2} - 8$ である。

$x$ は連続する整数 $n-1, n, n+1$ となる。これらの和が0なので、

$(n-1) + n + (n+1) = 3n = 0$

よって、$n = 0$ となり、整数は $-1, 0, 1$ となる。

$p < -1$ かつ $1 < p + 4b$ が必要。

$p < -1$

$1 < p + 4b = p + 8\sqrt{2} - 8$

$9 - 8\sqrt{2} < p$

したがって、$9 - 8\sqrt{2} < p < -1$ となる。

また、$p < -1$ かつ $1 < p + 4b$ かつ $p+4b < 2$ である必要がある。

$9 - 8\sqrt{2} < p < -1$

$9-8\sqrt{2} \approx 9 - 8(1.414) = 9 - 11.312 = -2.312$

$p < -1$ は $-2.312 < p < -1$ であるから満たされる。

$-2 \leq x \leq 1$ であればよい。

$p < -1$

$1 < p + 4b$

$p + 4b < 2$

$-2 < p$

$p + 4b < 2$ より $p < 2 - 4b$

$2 - 4b = 2 - 8\sqrt{2} + 8 = 10 - 8\sqrt{2} \approx 10 - 11.312 = -1.312$

$-2 < p < -1.312$

よって、求める範囲は $9 - 8\sqrt{2} < p \leq -1$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3 + 2\sqrt{2}$

(2) $b = 2\sqrt{2} - 2$, $a^2 - b^2 = 5 + 20\sqrt{2}$

(3) $9 - 8\sqrt{2} < p \leq -1$