問題は以下の3つの部分から構成されています。 (1) $a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ の分母を有理化し、簡単にすること。 (2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求め、さらに $a^2 - b^2$ の値を求めること。 (3) $b$ を(2)で求めた値とし、$p$ は実数とする。不等式 $p < x < p + 4b$ を満たす整数 $x$ が全部で3個あり、その3個の整数の和が0となるような $p$ の値の範囲を求めること。

1. 問題の内容

問題は以下の3つの部分から構成されています。

(1) $a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ の分母を有理化し、簡単にすること。

(2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求め、さらに $a^2 - b^2$ の値を求めること。

(3) $b$ を(2)で求めた値とし、$p$ は実数とする。不等式 $p < x < p + 4b$ を満たす整数 $x$ が全部で3個あり、その3個の整数の和が0となるような $p$ の値の範囲を求めること。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母の有理化:

$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ の分母を有理化するため、分母と分子に $3+2\sqrt{2}$ をかけます。

$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}} \times \frac{3+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{(3)^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{3+2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3 + 2\sqrt{2}$

(2) $b$ の値と $a^2 - b^2$ の値:

$a = 3 + 2\sqrt{2}$ です。$\sqrt{2} \approx 1.414$ なので、$2\sqrt{2} \approx 2.828$ となります。

したがって、$a = 3 + 2\sqrt{2} \approx 3 + 2.828 = 5.828$ となります。

$a$ の整数部分は5なので、$a$ の小数部分 $b$ は $a - 5 = 3 + 2\sqrt{2} - 5 = 2\sqrt{2} - 2$ となります。

よって、$b = 2\sqrt{2} - 2$ です。

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用します。

$a+b = (3+2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2}-2) = 1 + 4\sqrt{2}$

$a-b = (3+2\sqrt{2}) - (2\sqrt{2}-2) = 5$

したがって、$a^2 - b^2 = (1+4\sqrt{2}) \times 5 = 5 + 20\sqrt{2}$

(3) $p$ の値の範囲:

$b = 2\sqrt{2} - 2$ であり、与えられた不等式は $p < x < p + 4b$ です。

$4b = 4(2\sqrt{2} - 2) = 8\sqrt{2} - 8$

$p < x < p + 8\sqrt{2} - 8$

この不等式を満たす整数 $x$ が3つあり、それらの和が0であるということは、その3つの整数は $-1, 0, 1$ である必要があります。

したがって、不等式は $p < -1 < 0 < 1 < p + 8\sqrt{2} - 8$ を満たす必要があります。

$-2 < p \leq -1$ および $1 \leq p+8\sqrt{2}-8 < 2$

$9-8\sqrt{2} \leq p < 10-8\sqrt{2}$

ここで、$8\sqrt{2} \approx 8(1.414) = 11.312$ なので、

$9 - 11.312 \approx -2.312$ および $10 - 11.312 \approx -1.312$

$-2.312 \leq p < -1.312$

$-2 < p \leq -1$ かつ $9-8\sqrt{2} \leq p < 10-8\sqrt{2}$ を満たす $p$ の範囲を求めます。

$9-8\sqrt{2} \approx -2.31$

$10-8\sqrt{2} \approx -1.31$

したがって、$9-8\sqrt{2} \leq p \leq -1$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3 + 2\sqrt{2}$

(2) $b = 2\sqrt{2} - 2$, $a^2 - b^2 = 5 + 20\sqrt{2}$

(3) $9-8\sqrt{2} \leq p \leq -1$