$y = 2x^2$ のグラフを平行移動したもので、点 $(2, 3)$ を通り、頂点が直線 $y = 2x - 1$ 上にある放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

$y = 2x^2$ のグラフを平行移動したもので、点 $(2, 3)$ を通り、頂点が直線 $y = 2x - 1$ 上にある放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = 2x^2$ のグラフを平行移動した放物線の方程式を、頂点の座標を $(p, q)$ として、

$y = 2(x - p)^2 + q$

と表します。

頂点 $(p, q)$ は直線 $y = 2x - 1$ 上にあるので、

$q = 2p - 1$

が成り立ちます。よって、放物線の方程式は

$y = 2(x - p)^2 + 2p - 1$

と表せます。

この放物線が点 $(2, 3)$ を通るので、 $x = 2$, $y = 3$ を代入すると、

$3 = 2(2 - p)^2 + 2p - 1$

となります。この式を $p$ について解きます。

$3 = 2(4 - 4p + p^2) + 2p - 1$

$3 = 8 - 8p + 2p^2 + 2p - 1$

$0 = 2p^2 - 6p + 4$

$0 = p^2 - 3p + 2$

$0 = (p - 1)(p - 2)$

よって、$p = 1$ または $p = 2$ です。

$p = 1$ のとき、$q = 2p - 1 = 2(1) - 1 = 1$ となり、放物線の方程式は

$y = 2(x - 1)^2 + 1$

$y = 2(x^2 - 2x + 1) + 1$

$y = 2x^2 - 4x + 2 + 1$

$y = 2x^2 - 4x + 3$

となります。

$p = 2$ のとき、$q = 2p - 1 = 2(2) - 1 = 3$ となり、放物線の方程式は

$y = 2(x - 2)^2 + 3$

$y = 2(x^2 - 4x + 4) + 3$

$y = 2x^2 - 8x + 8 + 3$

$y = 2x^2 - 8x + 11$

となります。

3. 最終的な答え

$y = 2x^2 - 4x + 3$ または $y = 2x^2 - 8x + 11$