$a, b$ は実数で、$ab < 0$ であるとき、以下の4つの命題のうち、正しいものがどれか、または全て正しくない場合はどれかを選択する問題です。 (1) $a < b \Rightarrow a^2 < b^2$ (2) $a < b \Rightarrow a^2 > b^2$ (3) $a^2 > b^2 \Rightarrow a < b$ (4) $a^2 > b^2 \Rightarrow a > b$ (5) 上の (1)~(4) は全て正しくない

代数学不等式命題実数絶対値大小比較
2025/7/5

1. 問題の内容

a,ba, b は実数で、ab<0ab < 0 であるとき、以下の4つの命題のうち、正しいものがどれか、または全て正しくない場合はどれかを選択する問題です。
(1) a<ba2<b2a < b \Rightarrow a^2 < b^2
(2) a<ba2>b2a < b \Rightarrow a^2 > b^2
(3) a2>b2a<ba^2 > b^2 \Rightarrow a < b
(4) a2>b2a>ba^2 > b^2 \Rightarrow a > b
(5) 上の (1)~(4) は全て正しくない

2. 解き方の手順

条件 ab<0ab<0 より、aabb は異符号です。つまり、a>0a > 0 かつ b<0b < 0、または a<0a < 0 かつ b>0b > 0 のいずれかです。それぞれの命題について反例を探すことで、正誤を判断します。
(1) a<ba2<b2a < b \Rightarrow a^2 < b^2 について
a=2a = -2, b=1b = 1 とすると、a<ba < b ですが、a2=4a^2 = 4, b2=1b^2 = 1 となり、a2>b2a^2 > b^2 です。したがって、この命題は誤りです。
(2) a<ba2>b2a < b \Rightarrow a^2 > b^2 について
a=1a = -1, b=2b = 2 とすると、a<ba < b であり、a2=1a^2 = 1, b2=4b^2 = 4 となり、a2<b2a^2 < b^2 です。したがって、この命題は誤りです。
(3) a2>b2a<ba^2 > b^2 \Rightarrow a < b について
a=2a = 2, b=1b = -1 とすると、a2=4a^2 = 4, b2=1b^2 = 1 となり、a2>b2a^2 > b^2 です。しかし、a>ba > b です。したがって、この命題は誤りです。
(4) a2>b2a>ba^2 > b^2 \Rightarrow a > b について
a=2a = -2, b=1b = 1 とすると、a2=4a^2 = 4, b2=1b^2 = 1 となり、a2>b2a^2 > b^2 です。しかし、a<ba < b です。したがって、この命題は誤りです。
(1)~(4) の命題は全て誤りなので、正解は (5) となります。

3. 最終的な答え

(5)

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