与えられた数の大小を不等号を用いて表す問題です。 (1) $(\frac{1}{2})^{\frac{4}{3}}$, $(\frac{1}{2})^{\frac{5}{4}}$, $(\frac{1}{2})^0$ の大小関係を求める。 (2) $\sqrt[2]{\frac{1}{3}}$, $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[4]{27}$ の大小関係を求める。

1. 問題の内容

与えられた数の大小を不等号を用いて表す問題です。

(1) $(\frac{1}{2})^{\frac{4}{3}}$, $(\frac{1}{2})^{\frac{5}{4}}$, $(\frac{1}{2})^0$ の大小関係を求める。

(2) $\sqrt[2]{\frac{1}{3}}$, $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[4]{27}$ の大小関係を求める。

2. 解き方の手順

(1)

指数を比較するために、すべて$\frac{1}{12}$を分母とする分数に変換します。

$\frac{4}{3} = \frac{16}{12}$, $\frac{5}{4} = \frac{15}{12}$, $0 = 0$

底$\frac{1}{2}$は$0 < \frac{1}{2} < 1$なので、指数が大きいほど値は小さくなります。したがって、指数の大小関係は$\frac{16}{12} > \frac{15}{12} > 0$ なので、全体の大小関係は $(\frac{1}{2})^{\frac{16}{12}} < (\frac{1}{2})^{\frac{15}{12}} < (\frac{1}{2})^0$ となります。 $(\frac{1}{2})^0 = 1$であることに注意します。

よって、$(\frac{1}{2})^{\frac{4}{3}} < (\frac{1}{2})^{\frac{5}{4}} < 1$ となります。

(2)

$\sqrt[2]{\frac{1}{3}} = (\frac{1}{3})^{\frac{1}{2}} = (3^{-1})^{\frac{1}{2}} = 3^{-\frac{1}{2}}$

$\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[4]{27} = \sqrt[4]{3^3} = 3^{\frac{3}{4}}$

指数を比較するために、すべて$\frac{1}{12}$を分母とする分数に変換します。

$-\frac{1}{2} = -\frac{6}{12}$, $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$, $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$

指数の大小関係は$-\frac{6}{12} < \frac{4}{12} < \frac{9}{12}$なので、全体の大小関係は$3^{-\frac{1}{2}} < 3^{\frac{1}{3}} < 3^{\frac{3}{4}}$となります。

よって、$\sqrt[2]{\frac{1}{3}} < \sqrt[3]{3} < \sqrt[4]{27}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $(\frac{1}{2})^{\frac{4}{3}} < (\frac{1}{2})^{\frac{5}{4}} < 1$

(2) $\sqrt[2]{\frac{1}{3}} < \sqrt[3]{3} < \sqrt[4]{27}$