2次関数 $f(x) = x^2 - 2x - a^2 - a + 11$ が与えられている。ただし、$a$ は正の定数とする。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。 (2) $y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に3, $y$ 軸方向に -4 だけ平行移動したグラフを表す関数を $y = g(x)$ とする。$y = g(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。また、$g(x)$ の最小値が4であるとき、$a$ の値を求める。 (3) $a$ を (2) で求めた値とし、$t$ を正の定数とする。$0 \le x \le t$ における $f(x)$ の最大値を $M$ とする。$M$ を求めよ。また、(2) の $g(x)$ について、$0 \le x \le t$ における $g(x)$ の最小値を $m$ とする。$M + m = 25$ となるような $t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2x - a^2 - a + 11$ が与えられている。ただし、$a$ は正の定数とする。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。

(2) $y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に3, $y$ 軸方向に -4 だけ平行移動したグラフを表す関数を $y = g(x)$ とする。$y = g(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。また、$g(x)$ の最小値が4であるとき、$a$ の値を求める。

(3) $a$ を (2) で求めた値とし、$t$ を正の定数とする。$0 \le x \le t$ における $f(x)$ の最大値を $M$ とする。$M$ を求めよ。また、(2) の $g(x)$ について、$0 \le x \le t$ における $g(x)$ の最小値を $m$ とする。$M + m = 25$ となるような $t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 2x - a^2 - a + 11 = (x - 1)^2 - 1 - a^2 - a + 11 = (x - 1)^2 - a^2 - a + 10$

よって、頂点の座標は $(1, -a^2 - a + 10)$

(2) $g(x)$ は $f(x)$ を $x$ 軸方向に3, $y$ 軸方向に -4 平行移動したものであるから、$g(x) = f(x - 3) - 4$。

$g(x) = (x - 3)^2 - 2(x - 3) - a^2 - a + 11 - 4 = x^2 - 6x + 9 - 2x + 6 - a^2 - a + 7 = x^2 - 8x - a^2 - a + 22$

$g(x) = (x - 4)^2 - 16 - a^2 - a + 22 = (x - 4)^2 - a^2 - a + 6$

よって、$g(x)$ の頂点の座標は $(4, -a^2 - a + 6)$

$g(x)$ の最小値は $-a^2 - a + 6$ であり、これが4に等しいので、$-a^2 - a + 6 = 4$

$a^2 + a - 2 = 0$

$(a + 2)(a - 1) = 0$

$a = -2, 1$

$a$ は正の定数なので、$a = 1$

(3) $a = 1$ のとき、$f(x) = x^2 - 2x - 1^2 - 1 + 11 = x^2 - 2x + 9 = (x - 1)^2 + 8$

$g(x) = (x - 4)^2 - 1^2 - 1 + 6 = (x - 4)^2 + 4$

$0 \le x \le t$ における $f(x)$ の最大値を $M$ とする。

$f(0) = 9$, $f(t) = (t - 1)^2 + 8$

$M = \max(f(0), f(t)) = \max(9, (t - 1)^2 + 8)$

$0 \le x \le t$ における $g(x)$ の最小値を $m$ とする。

$g(x) = (x - 4)^2 + 4$

$g(x)$ の頂点の $x$ 座標は $4$ である。

(i) $t \le 4$ のとき、$m = g(t) = (t - 4)^2 + 4$

(ii) $t > 4$ のとき、$m = g(4) = 4$

$M + m = 25$

(i) $t \le 4$ のとき

$\max(9, (t - 1)^2 + 8) + (t - 4)^2 + 4 = 25$

$\max(9, t^2 - 2t + 9) + t^2 - 8t + 20 = 25$

(i-a) $t^2 - 2t + 9 \le 9$ つまり $t^2 - 2t \le 0$ つまり $0 \le t \le 2$ のとき

$9 + t^2 - 8t + 20 = 25$

$t^2 - 8t + 4 = 0$

$t = 4 \pm 2\sqrt{3}$

$0 \le t \le 2$ なので不適

(i-b) $t^2 - 2t + 9 > 9$ つまり $t > 2$ のとき

$t^2 - 2t + 9 + t^2 - 8t + 20 = 25$

$2t^2 - 10t + 4 = 0$

$t^2 - 5t + 2 = 0$

$t = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$

$2 < t \le 4$ より $t = \frac{5 - \sqrt{17}}{2}$

(ii) $t > 4$ のとき

$\max(9, (t - 1)^2 + 8) + 4 = 25$

$\max(9, t^2 - 2t + 9) = 21$

$t^2 - 2t + 9 > 9$ より $t^2 - 2t + 9 = 21$

$t^2 - 2t - 12 = 0$

$t = 1 \pm \sqrt{13}$

$t > 4$ より $t = 1 + \sqrt{13}$

3. 最終的な答え

(1) $(1, -a^2 - a + 10)$

(2) $(4, -a^2 - a + 6)$, $a = 1$

(3) $M = \max(9, (t - 1)^2 + 8)$

$t = \frac{5 - \sqrt{17}}{2}$ または $t = 1 + \sqrt{13}$