与えられた $a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ に対して、以下の値を求める問題です。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にします。 (2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求め、さらに $a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めます。 (3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた $a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ に対して、以下の値を求める問題です。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にします。

(2) $a + \frac{2}{a}$ の値を求め、さらに $a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めます。

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化します。分母の $3\sqrt{2} - \sqrt{10}$ に対して、$3\sqrt{2} + \sqrt{10}$ を掛けて分母を有理化します。

$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{(3\sqrt{2} - \sqrt{10})(3\sqrt{2} + \sqrt{10})} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{18 - 10} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$ なので、$\frac{2}{a} = \frac{2}{\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}$ となります。

分母を有理化すると

$\frac{4}{3\sqrt{2} + \sqrt{10}} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{(3\sqrt{2} + \sqrt{10})(3\sqrt{2} - \sqrt{10})} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{(3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{18 - 10} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$

よって、$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

次に、$a^2 + \frac{4}{a^2} = (a + \frac{2}{a})^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{2}{a} = (3\sqrt{2})^2 - 4 = 18 - 4 = 14$

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = (a^2 - \frac{4}{a^2})^2 - \frac{8}{a^2} - 1 = (a^2 + \frac{4}{a^2})(a^2 - \frac{4}{a^2}) - \frac{8}{a^2} -1$

ここで $a^2 - \frac{4}{a^2} = (a+\frac{2}{a})(a - \frac{2}{a}) = 3\sqrt{2}(a - \frac{2}{a})$

$a - \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} - \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} = \frac{2\sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}$

$a^2 - \frac{4}{a^2} = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{10} = 3\sqrt{20} = 6\sqrt{5}$

したがって、$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = (a^2 - \frac{4}{a^2})(a^2 + \frac{4}{a^2}) - \frac{8}{a^2} - 1= 6\sqrt{5} \times 14 - \frac{8}{a^2} - 1$

ここで $a^2 = (\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2})^2 = \frac{18 + 10 + 6\sqrt{20}}{4} = \frac{28 + 12\sqrt{5}}{4} = 7 + 3\sqrt{5}$

$\frac{1}{a^2} = \frac{1}{7 + 3\sqrt{5}} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{(7 + 3\sqrt{5})(7 - 3\sqrt{5})} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{49 - 45} = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{4}$

$\frac{8}{a^2} = 8 \cdot \frac{7 - 3\sqrt{5}}{4} = 2(7 - 3\sqrt{5}) = 14 - 6\sqrt{5}$

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = 14(6\sqrt{5}) - (14 - 6\sqrt{5}) - 1 = 84\sqrt{5} - 14 + 6\sqrt{5} - 1 = 90\sqrt{5} - 15$

$a = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{10}}{2}$, $a^2+\frac{4}{a^2} = 14$, $a+\frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$

$(a^2 + \frac{4}{a^2}) = (a+\frac{2}{a})^2 - 2 \cdot 2 = 18-4 = 14$.

$\frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}$

$a-\frac{2}{a} = \sqrt{10}$

$a^4-\frac{16}{a^4}-\frac{8}{a^2}-1 = (a^2+\frac{4}{a^2})(a^2-\frac{4}{a^2}) - (\frac{8}{a^2}+1) = 14\sqrt{(a+\frac{2}{a})^2 - 4 } -8(\frac{7 - 3\sqrt{5}}{4}) -1 = 14(3\sqrt{2})^2 - 4\sqrt{5}-14 -1$

最終的な答えは -15

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$, $a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = -15$