$a = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$ とする。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求めよ。また、$a^2 - b^2$ の値を求めよ。 (3) $b$ を (2) で求めた値とし、$p$ は実数とする。$x$ についての不等式 $p < x < p + 4b$…① がある。不等式①を満たす整数 $x$ が全部で 3 個あり、その 3 個の整数の和が 0 となるような $p$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$ とする。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求めよ。また、$a^2 - b^2$ の値を求めよ。

(3) $b$ を (2) で求めた値とし、$p$ は実数とする。$x$ についての不等式 $p < x < p + 4b$…① がある。不等式①を満たす整数 $x$ が全部で 3 個あり、その 3 個の整数の和が 0 となるような $p$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化する。

$a = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3 + 2\sqrt{2}$

(2) $a = 3 + 2\sqrt{2}$ について、$2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ であり、$2 < \sqrt{8} < 3$ であるから、$5 < 3 + 2\sqrt{2} < 6$。よって、$a$ の整数部分は 5 なので、小数部分 $b$ は $b = a - 5 = 3 + 2\sqrt{2} - 5 = 2\sqrt{2} - 2$ となる。

次に、$a^2 - b^2$ を求める。

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) = (3 + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 2)(3 + 2\sqrt{2} - (2\sqrt{2} - 2)) = (1 + 4\sqrt{2})(5) = 5 + 20\sqrt{2}$

(3) 不等式① $p < x < p + 4b$ を満たす整数 $x$ が全部で 3 個あり、その 3 個の整数の和が 0 となる。$b = 2\sqrt{2} - 2$ より、$4b = 8\sqrt{2} - 8$ である。

3 個の整数の和が 0 ということは、それらの整数は $n-1, n, n+1$ と表せ、$n-1 + n + n+1 = 3n = 0$ より、$n = 0$ である。

したがって、求める整数は -1, 0, 1 である。

$p < -1$ かつ $1 < p + 4b$ である必要がある。また、$p < -2$ または $2 < p + 4b$ であれば、条件を満たさない。

$-2 \le p < -1$ かつ $1 < p + 4b \le 2$ を満たす $p$ を求める。

$1 < p + 8\sqrt{2} - 8 \le 2$ より、$9 - 8\sqrt{2} < p \le 10 - 8\sqrt{2}$

よって、$-2 \le p < -1$ と $9 - 8\sqrt{2} < p \le 10 - 8\sqrt{2}$ を満たす $p$ を求める。

$9 - 8\sqrt{2} \approx 9 - 8 \times 1.414 = 9 - 11.312 = -2.312$

$10 - 8\sqrt{2} \approx 10 - 11.312 = -1.312$

したがって、$9 - 8\sqrt{2} < p < -1$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $a = 3 + 2\sqrt{2}$

(2) $b = 2\sqrt{2} - 2$、$a^2 - b^2 = 5 + 20\sqrt{2}$

(3) $9 - 8\sqrt{2} < p \le 10 - 8\sqrt{2}$

$9 - 8\sqrt{2} < p < -1$