与えられた式 $\frac{1}{3-\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}-1}$ を計算し、簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{3-\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}-1}$ を計算し、簡略化します。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を有理化します。

$\frac{1}{3-\sqrt{5}}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $3+\sqrt{5}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{5}-1}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{5}+1$ を掛けます。

すると、以下のようになります。

$\frac{1}{3-\sqrt{5}} = \frac{1}{3-\sqrt{5}} \cdot \frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} = \frac{3+\sqrt{5}}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{3+\sqrt{5}}{9-5} = \frac{3+\sqrt{5}}{4}$

$\frac{1}{\sqrt{5}-1} = \frac{1}{\sqrt{5}-1} \cdot \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1} = \frac{\sqrt{5}+1}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{5}+1}{5-1} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$

次に、これらの結果を使って元の式を計算します。

$\frac{1}{3-\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}-1} = \frac{3+\sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt{5}+1}{4} = \frac{(3+\sqrt{5}) - (\sqrt{5}+1)}{4} = \frac{3+\sqrt{5}-\sqrt{5}-1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$