$a$を定数とする。$x$の2次関数 $y = -2x^2 + 2ax - a$ の最大値を$M$とする。 (1) $M$を$a$の式で表せ。 (2) $a$の関数 $M$ の最小値と、そのときの$a$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$を定数とする。$x$の2次関数 $y = -2x^2 + 2ax - a$ の最大値を$M$とする。

(1) $M$を$a$の式で表せ。

(2) $a$の関数 $M$ の最小値と、そのときの$a$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた2次関数を平方完成します。

\begin{align*}

y &= -2x^2 + 2ax - a \\

&= -2(x^2 - ax) - a \\

&= -2\left(x^2 - ax + \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{4}\right) - a \\

&= -2\left(x - \frac{a}{2}\right)^2 + \frac{a^2}{2} - a

\end{align*}

よって、頂点の座標は $\left(\frac{a}{2}, \frac{a^2}{2} - a\right)$ となります。

$y = -2x^2 + 2ax - a$ は上に凸な放物線であるから、最大値 $M$ は頂点の $y$ 座標に等しいです。

したがって、$M = \frac{a^2}{2} - a$ となります。

(2) 次に、$M$ を $a$ の関数として最小値を求めます。$M$ を平方完成します。

\begin{align*}

M &= \frac{1}{2}a^2 - a \\

&= \frac{1}{2}(a^2 - 2a) \\

&= \frac{1}{2}(a^2 - 2a + 1 - 1) \\

&= \frac{1}{2}(a - 1)^2 - \frac{1}{2}

\end{align*}

$M$ は下に凸な放物線であるから、$a = 1$ のとき最小値 $-\frac{1}{2}$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) $M = \frac{a^2}{2} - a$

(2) $M$ の最小値は $-\frac{1}{2}$ であり、そのときの $a$ の値は $1$ です。