$x^2 + y^2 = 4$ のとき、$ax + y^2$ の最大値と最小値を求める。ただし、$a$ は定数とする。

1. 問題の内容

$x^2 + y^2 = 4$ のとき、$ax + y^2$ の最大値と最小値を求める。ただし、$a$ は定数とする。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + y^2 = 4$ より、$y^2 = 4 - x^2$ となる。

これを $ax + y^2$ に代入すると、

$ax + y^2 = ax + 4 - x^2 = -x^2 + ax + 4$

となる。

$f(x) = -x^2 + ax + 4$ とおくと、これは $x$ の二次関数である。

$x^2 + y^2 = 4$ より、$-2 \le x \le 2$ である。

$f(x) = -(x^2 - ax) + 4 = -(x^2 - ax + \frac{a^2}{4}) + \frac{a^2}{4} + 4 = -(x - \frac{a}{2})^2 + \frac{a^2}{4} + 4$

したがって、$f(x)$ は $x = \frac{a}{2}$ で最大値 $\frac{a^2}{4} + 4$ をとる。

しかし、$-2 \le x \le 2$ であるから、$\frac{a}{2}$ がこの範囲にあるかどうかで場合分けする必要がある。

(i) $-2 \le \frac{a}{2} \le 2$ つまり $-4 \le a \le 4$ のとき、

$f(x)$ の最大値は $\frac{a^2}{4} + 4$ である。

$x = -2$ または $x = 2$ で最小値をとる。

$f(-2) = -4 -2a + 4 = -2a$

$f(2) = -4 + 2a + 4 = 2a$

したがって、最小値は $-2a$ または $2a$ のうち小さい方、つまり $-|2a|$ である。

(ii) $\frac{a}{2} < -2$ つまり $a < -4$ のとき、

$f(x)$ は $x = -2$ で最大値をとる。

最大値は $f(-2) = -2a$ である。

$x = 2$ で最小値をとる。

最小値は $f(2) = 2a$ である。

(iii) $\frac{a}{2} > 2$ つまり $a > 4$ のとき、

$f(x)$ は $x = 2$ で最大値をとる。

最大値は $f(2) = 2a$ である。

$x = -2$ で最小値をとる。

最小値は $f(-2) = -2a$ である。

3. 最終的な答え

(i) $-4 \le a \le 4$ のとき、最大値は $\frac{a^2}{4} + 4$、最小値は $-2|a|$ である。

(ii) $a < -4$ のとき、最大値は $-2a$、最小値は $2a$ である。

(iii) $a > 4$ のとき、最大値は $2a$、最小値は $-2a$ である。