数列 $S$ が与えられており、$S = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 7 \cdot 2^2 + \cdots + (3n-2) \cdot 2^{n-1}$ である。この数列の和 $S$ を求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

数列 $S$ が与えられており、$S = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 7 \cdot 2^2 + \cdots + (3n-2) \cdot 2^{n-1}$ である。この数列の和 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた数列 $S$ に対して、両辺に2をかけると、

$2S = 1 \cdot 2 + 4 \cdot 2^2 + \cdots + (3n-5) \cdot 2^{n-1} + (3n-2) \cdot 2^n$

$S$ から $2S$ を引くと、

$S - 2S = 1 + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + \cdots + 3 \cdot 2^{n-1} - (3n-2) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 3(2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{n-1}) - (3n-2) \cdot 2^n$

ここで、$2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1}$ は初項2、公比2、項数 $n-1$ の等比数列の和なので、

$2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1} = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2 - 1} = 2(2^{n-1} - 1) = 2^n - 2$

したがって、

$-S = 1 + 3(2^n - 2) - (3n-2) \cdot 2^n = 1 + 3 \cdot 2^n - 6 - (3n-2) \cdot 2^n = -5 + 3 \cdot 2^n - (3n-2) \cdot 2^n = -5 + (3 - (3n-2)) \cdot 2^n = -5 + (5 - 3n) \cdot 2^n = -5 - (3n - 5) \cdot 2^n$

$-S = -(3n-5) \cdot 2^n - 5$

$S = (3n-5) \cdot 2^n + 5$

3. 最終的な答え

$S = (3n-5)2^n + 5$