関数 $f(x) = 2x^2 + 4x + 1$ の区間 $a-1 \le x \le a+1$ における最大値 $M(a)$ を求める問題です。$f(x)$ のグラフは下に凸な放物線であり、軸の位置と区間の位置関係によって最大値を与える $x$ の値が変わるため、$a$ の値で場合分けして $M(a)$ を求める必要があります。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2x^2 + 4x + 1$ の区間 $a-1 \le x \le a+1$ における最大値 $M(a)$ を求める問題です。$f(x)$ のグラフは下に凸な放物線であり、軸の位置と区間の位置関係によって最大値を与える $x$ の値が変わるため、$a$ の値で場合分けして $M(a)$ を求める必要があります。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成し、頂点の座標と軸の方程式を求めます。

$f(x) = 2(x^2 + 2x) + 1 = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1 = 2(x+1)^2 - 2 + 1 = 2(x+1)^2 - 1$

したがって、$f(x)$ のグラフの頂点の座標は $(-1, -1)$ であり、軸の方程式は $x = -1$ です。

(2) 区間 $a-1 \le x \le a+1$ の中央の $x$ 座標を求めます。

区間の中央の $x$ 座標は $\frac{(a-1) + (a+1)}{2} = \frac{2a}{2} = a$ です。

(3) 軸 $x=-1$ と区間の中央 $x=a$ の大小で場合分けします。

(i) $a < -1$ のとき、区間 $a-1 \le x \le a+1$ は軸 $x=-1$ より右側にあります。したがって、$f(x)$ は区間の右端 $x=a+1$ で最大値をとります。

$M(a) = f(a+1) = 2(a+1)^2 + 4(a+1) + 1 = 2(a^2 + 2a + 1) + 4a + 4 + 1 = 2a^2 + 4a + 2 + 4a + 5 = 2a^2 + 8a + 7$

(ii) $a \ge -1$ のとき、区間 $a-1 \le x \le a+1$ は軸 $x=-1$ を含むか、軸より左側にあります。したがって、$f(x)$ は区間の右端 $x=a+1$ で最大値をとります。

$M(a) = f(a+1) = 2(a+1)^2 + 4(a+1) + 1 = 2(a^2 + 2a + 1) + 4a + 4 + 1 = 2a^2 + 4a + 2 + 4a + 5 = 2a^2 + 8a + 7$

3. 最終的な答え

ア: (-1, -1)

イ: -1

ウ: a

エ: -1

(i) a < -1 のとき

オ: 2

カ: 8

キ: 7

(ii) a >= -1 のとき

ク: 2

ケ: 8

コ: 7