与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ による線形写像 $y = Ax$ によって、以下の領域がどのように写像されるかを図示する問題です。 (1) $0 \le x_1 \le 1$, $0 \le x_2 \le 1$ (2) $x_1 \ge 0$ (3) $x_2 \le -x_1$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ による線形写像 $y = Ax$ によって、以下の領域がどのように写像されるかを図示する問題です。

(1) $0 \le x_1 \le 1$, $0 \le x_2 \le 1$

(2) $x_1 \ge 0$

(3) $x_2 \le -x_1$

2. 解き方の手順

(1) $0 \le x_1 \le 1$, $0 \le x_2 \le 1$ の場合

この領域は正方形です。正方形の4つの頂点 $(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$ がどのように写像されるかを調べます。

$A\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$A\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

$A\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$

$A\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

写像後の領域は、$(0,0), (1,1), (3,4), (2,3)$ を頂点とする平行四辺形になります。

(2) $x_1 \ge 0$ の場合

この領域は $x_1$ 軸の正の部分を含む領域です。

$y = Ax = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 \\ x_1 + 3x_2 \end{bmatrix}$

$x_1 \ge 0$ という条件だけでは、$y_1$ と $y_2$ の範囲を特定できません。$x_2$ が自由に動けるからです。

$x_1=0$のとき、$y = \begin{bmatrix} 2x_2 \\ 3x_2 \end{bmatrix}$となり、これは原点を通る傾き $3/2$ の直線になります。

$x_1 \to \infty$とすると、$y_1 \to \infty$、$y_2 \to \infty$ となります。

したがって、写像後の領域は、$y_1=x_1+2x_2$, $y_2=x_1+3x_2$を使って$x_1 \ge 0$を満たす領域になります。

$x_1 = y_2-3x_2 \ge 0$より、$y_2 \ge 3x_2$

(3) $x_2 \le -x_1$ の場合

$y = Ax = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 \\ x_1 + 3x_2 \end{bmatrix}$

$x_2 \le -x_1$という条件から、$x_1 + x_2 \le 0$です。

$x_1 \ge -x_2$なので、$y_1 = x_1+2x_2 \ge -x_2+2x_2 = x_2$

$y_2 = x_1+3x_2 \ge -x_2+3x_2 = 2x_2$

したがって、$y_2 \ge 2y_1-2x_2$, $y_2 \ge 2y_1 - y_2$となります。

$2y_2 \ge 2y_1$より、$y_2 \ge y_1$となります。

また、$x_1$を消去すると、

$3y_1 - y_2 = 3x_1+6x_2-x_1-3x_2=2x_1+3x_2$.

$x_2 \le -x_1$より、$2x_1+3x_2 \le 2x_1-3x_1 = -x_1 \le 0$.

従って、$3y_1-y_2 \le 0$または、$y_2 \ge 3y_1$

3. 最終的な答え

(1) $(0,0), (1,1), (3,4), (2,3)$ を頂点とする平行四辺形

(2) $y_1 = x_1 + 2x_2$, $y_2 = x_1 + 3x_2$ を使い、$x_1 \ge 0$ となる領域

(3) $y_2 \ge 3y_1$ かつ $y_2 \ge y_1$ となる領域