媒介変数 $t$ によって表される点 $(x, y)$ がどのような曲線を描くかを問う問題です。問題文には6つの $(x, y)$ が与えられており、それぞれについて $t$ を消去して $x$ と $y$ の関係式を求め、曲線がどのようなものか特定します。今回は、問題番号1, 3, 5について解答します。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ によって表される点 $(x, y)$ がどのような曲線を描くかを問う問題です。問題文には6つの $(x, y)$ が与えられており、それぞれについて $t$ を消去して $x$ と $y$ の関係式を求め、曲線がどのようなものか特定します。今回は、問題番号1, 3, 5について解答します。

2. 解き方の手順

(1) $x = \cos t + \sin t$, $y = \cos t - \sin t$ の場合：

$x + y = (\cos t + \sin t) + (\cos t - \sin t) = 2 \cos t$

$x - y = (\cos t + \sin t) - (\cos t - \sin t) = 2 \sin t$

これらから $\cos t = \frac{x+y}{2}$、 $\sin t = \frac{x-y}{2}$ となります。

$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ より、

$(\frac{x-y}{2})^2 + (\frac{x+y}{2})^2 = 1$

$\frac{(x-y)^2}{4} + \frac{(x+y)^2}{4} = 1$

$(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 + 2xy + y^2) = 4$

$2x^2 + 2y^2 = 4$

$x^2 + y^2 = 2$

(3) $x = t + \frac{2}{t}$, $y = t^2 + \frac{4}{t^2}$ ($t > 0$) の場合：

$x^2 = (t + \frac{2}{t})^2 = t^2 + 4 + \frac{4}{t^2}$

$y = t^2 + \frac{4}{t^2}$

したがって、$x^2 = y + 4$, よって $y = x^2 - 4$となります。

ただし、$t>0$ より、$x = t+\frac{2}{t} > 0$ であり、$x$ は最小値を取ります。

$f(t) = t+\frac{2}{t}$ とおくと、$f'(t) = 1-\frac{2}{t^2} = 0$ より、$t=\sqrt{2}$ のとき、$f(t)$ は最小値 $2\sqrt{2}$を取ります。

したがって、$x \geq 2\sqrt{2}$。

よって、$y = x^2-4$ ($x \geq 2\sqrt{2}$)

(5) $x = \frac{1}{1+t^2}$, $y = \frac{t}{1+t^2}$ の場合：

$y/x = t$

$t = \frac{y}{x}$

$x = \frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2} = \frac{1}{1 + \frac{y^2}{x^2}} = \frac{x^2}{x^2 + y^2}$

$x^2 + y^2 = x$

$x^2 - x + y^2 = 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 + y^2 = \frac{1}{4}$

これは中心 $(\frac{1}{2}, 0)$、半径 $\frac{1}{2}$ の円を表します。

ただし、$x = \frac{1}{1+t^2} > 0$、 $-1 < \frac{1-t^2}{1+t^2} < 1$であることと、$y = \frac{t}{1+t^2}$ より、$y$は実数全体を動けることに注意すると、$x>0$を満たすような円全体となります。

$x = \frac{1}{1+t^2} \le 1$, $t=0$のとき$x=1$,$y=0$.

$t \to \infty$ で $x \to 0$、$y \to 0$

円全体から原点を除く。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 = 2$ (円)

(3) $y = x^2 - 4$ ($x \geq 2\sqrt{2}$) (放物線の一部)

(5) $(x - \frac{1}{2})^2 + y^2 = \frac{1}{4}$ から原点を除いたもの (円)