与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}$ による線形写像 $y = Ax$ によって、以下の不等式で表される領域がどのような領域に移るか、写像後の領域を図示する問題です。 (1) $0 \le x_1 \le 1$, $0 \le x_2 \le 1$ (2) $x_1 \ge 0$ (3) $x_2 \le -x_1$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}$ による線形写像 $y = Ax$ によって、以下の不等式で表される領域がどのような領域に移るか、写像後の領域を図示する問題です。

(1) $0 \le x_1 \le 1$, $0 \le x_2 \le 1$

(2) $x_1 \ge 0$

(3) $x_2 \le -x_1$

2. 解き方の手順

(1) の場合:

領域は正方形 $0 \le x_1 \le 1$, $0 \le x_2 \le 1$ であり、これは点 $(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)$ を頂点とする正方形です。

これらの点を $y = Ax$ で写像します。

- $(0,0) \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

- $(1,0) \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

- $(0,1) \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

- $(1,1) \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix}$

従って、写像後の領域は、点 $(0,0), (1,3), (2,3), (3,6)$ を頂点とする平行四辺形となります。

(2) の場合:

領域は $x_1 \ge 0$ であり、$x_2$ は任意の実数です。これは $x_2$ 軸を含む $x_1$ 軸の正の部分を含む領域です。

$y = Ax$ を $y_1 = x_1 + 2x_2$、$y_2 = 3x_1 + 3x_2$ と書きます。

$x_1 \ge 0$ なので、$x_1$ をパラメータ $t$ とし、$x_1 = t \ge 0$、$x_2 = s$ とします。

すると $y_1 = t + 2s$、$y_2 = 3t + 3s$ となります。

$s = \frac{y_1 - t}{2}$ なので、$y_2 = 3t + 3(\frac{y_1 - t}{2}) = 3t + \frac{3}{2}y_1 - \frac{3}{2}t = \frac{3}{2}t + \frac{3}{2}y_1$。

よって、$2y_2 = 3t + 3y_1$、$t = \frac{2y_2 - 3y_1}{3}$ です。

$t \ge 0$ より $\frac{2y_2 - 3y_1}{3} \ge 0$ なので $2y_2 - 3y_1 \ge 0$、$2y_2 \ge 3y_1$、$y_2 \ge \frac{3}{2}y_1$。

したがって、写像後の領域は $y_2 \ge \frac{3}{2} y_1$ で表される領域です。

(3) の場合:

領域は $x_2 \le -x_1$ です。

$y_1 = x_1 + 2x_2$、$y_2 = 3x_1 + 3x_2$ とします。

$x_2 \le -x_1$ より、$x_2 = -x_1 - t$ （$t \ge 0$）と置きます。

$y_1 = x_1 + 2(-x_1 - t) = x_1 - 2x_1 - 2t = -x_1 - 2t$

$y_2 = 3x_1 + 3(-x_1 - t) = 3x_1 - 3x_1 - 3t = -3t$

$t \ge 0$ より $y_2 \le 0$。

$x_1 = -y_1 - 2t$ より、$x_1 = -y_1 + \frac{2}{3}y_2$。

$x_2 = -x_1 - t = y_1 - \frac{2}{3}y_2 + \frac{y_2}{3} = y_1 - \frac{1}{3}y_2$。

$x_2 \le -x_1$ は $y_1 - \frac{1}{3}y_2 \le -(-y_1 + \frac{2}{3}y_2)$ なので、$y_1 - \frac{1}{3}y_2 \le y_1 - \frac{2}{3}y_2$。

$\frac{1}{3}y_2 \ge 0$ なので $y_2 \ge 0$。しかし、$y_2 \le 0$ なので、$y_2 = 0$ となります。

$x_1 = -y_1$ なので $x_1$ は任意の実数となります。

$y_2 = -3t \le 0$ なので $y_2$ は負の実数またはゼロです。

したがって、$y_2 = 0$ とします。すると $x_2 = -x_1$ です。よって $y_1 = x_1 - 2x_1 = -x_1$、$y_2 = 3x_1 - 3x_1 = 0$。

なので $y_2 = 0$ で $y_1$ は任意の実数。

3. 最終的な答え

(1) $(0,0), (1,3), (2,3), (3,6)$ を頂点とする平行四辺形。

(2) $y_2 \ge \frac{3}{2} y_1$ で表される領域。

(3) $y_2 = 0$