2次関数 $f(x) = 2x^2 - 6x + a$ (aは定数)がある。この関数のグラフの軸と、最小値が $\frac{1}{2}$ であるときのaの値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = 2x^2 - 6x + a$ (aは定数)がある。この関数のグラフの軸と、最小値が $\frac{1}{2}$ であるときのaの値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$を平方完成する。

$f(x) = 2x^2 - 6x + a = 2(x^2 - 3x) + a$

$f(x) = 2(x^2 - 3x + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2) + a$

$f(x) = 2((x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) + a$

$f(x) = 2(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2} + a$

よって、グラフの軸は直線 $x = \frac{3}{2}$ である。

また、最小値は $-\frac{9}{2} + a$ である。問題文より、この最小値が $\frac{1}{2}$ であるから、

$-\frac{9}{2} + a = \frac{1}{2}$

$a = \frac{1}{2} + \frac{9}{2}$

$a = \frac{10}{2}$

$a = 5$

3. 最終的な答え

軸は$x = \frac{3}{2}$

$a = 5$