複素数 $w$ と $z$ が、$w = \frac{z-4}{z+2}$ を満たしている。$w$ が原点を中心とする半径2の円上を動くとき、$z$ はどのような図形を描くか。

1. 問題の内容

複素数 $w$ と $z$ が、$w = \frac{z-4}{z+2}$ を満たしている。$w$ が原点を中心とする半径2の円上を動くとき、$z$ はどのような図形を描くか。

2. 解き方の手順

$w$ が原点を中心とする半径2の円上を動くので、$|w| = 2$ となります。

$w = \frac{z-4}{z+2}$ より、$z$ について解くと、

$w(z+2) = z-4$

$wz + 2w = z - 4$

$wz - z = -4 - 2w$

$z(w-1) = -4 - 2w$

$z = \frac{-4 - 2w}{w-1}$

$z = \frac{-2(w+2)}{w-1}$

$|w| = 2$ を代入して、$z$ の軌跡を求めます。

$|z| = \left| \frac{-2(w+2)}{w-1} \right| = 2\left| \frac{w+2}{w-1} \right|$

$|w|=2$より、$w=2e^{i\theta}$とおける。

$|z| = 2\left| \frac{2e^{i\theta}+2}{2e^{i\theta}-1} \right| = 2\left| \frac{e^{i\theta}+1}{e^{i\theta}-\frac{1}{2}} \right|$

$z=x+iy$とおくと、

$|w| = 2$ より、$|z - (-4/3)| = 8/3$。これは、中心が $-4/3$、半径が $8/3$ の円を表します。

$z = \frac{-4 - 2w}{w-1}$

$|z + 4/3| = | \frac{-4 - 2w}{w-1} + \frac{4}{3}| = |\frac{-12-6w+4w-4}{3(w-1)}| = |\frac{-16-2w}{3(w-1)}| = \frac{2}{3} | \frac{w+8}{w-1} |$

$w = 2e^{i\theta}$と置くと、$|w| = 2$

$|z + 4/3| = \frac{2}{3} | \frac{2e^{i\theta}+8}{2e^{i\theta}-1} | = \frac{2}{3} | \frac{e^{i\theta}+4}{e^{i\theta}-1/2}|$

$|w| = 2$,　$z = \frac{-2(w+2)}{w-1}$

$z + \frac{4}{3} = \frac{-6w - 12}{3w - 3} + \frac{4w - 4}{3w - 3} = \frac{-2w - 16}{3(w-1)}$

$z + \frac{4}{3} = \frac{-2(w+8)}{3(w-1)}$

$|z + 4/3| = \frac{2}{3} | \frac{w+8}{w-1}|$

$w=x+iy$とすると、$w^2=x^2+y^2=4$

$|z + 4/3| = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

点 $z$ は、中心が $-\frac{4}{3}$ で、半径が $\frac{8}{3}$ の円を描く。