複素数 $\alpha = 1 + \sqrt{3}i$ と $\beta = -4 + 2i$ が与えられています。複素数平面上の原点をOとします。 (1) 点A($\alpha$)を実軸に関して対称移動させた点をA'($\alpha'$)とするとき、複素数$\alpha'$の値を求めます。 (2) 点B($\beta$)を直線OAに関して対称移動させた点をB'($\beta'$)とするとき、複素数$\beta'$の値を求めます。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = 1 + \sqrt{3}i$ と $\beta = -4 + 2i$ が与えられています。複素数平面上の原点をOとします。

(1) 点A($\alpha$)を実軸に関して対称移動させた点をA'($\alpha'$)とするとき、複素数$\alpha'$の値を求めます。

(2) 点B($\beta$)を直線OAに関して対称移動させた点をB'($\beta'$)とするとき、複素数$\beta'$の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 複素数$\alpha = 1 + \sqrt{3}i$を実軸に関して対称移動した点$\alpha'$は、$\alpha$の共役複素数となります。共役複素数は虚部の符号を反転させることで求められます。

$\alpha' = \overline{\alpha} = 1 - \sqrt{3}i$

(2) 点B($\beta$)を直線OAに関して対称移動させた点をB'($\beta'$)とします。

まず、$\alpha$の偏角$\theta$を求めます。

$\alpha = 1 + \sqrt{3}i$ より、

$|\alpha| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$

$\cos\theta = \frac{1}{2}$, $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}$

次に、点B($\beta$)を原点Oを中心に$-\theta$回転させ、実軸に関して対称移動させ、再度$\theta$回転させると、点B'($\beta'$)が得られます。

$\beta' = \overline{\beta e^{-i\theta}} e^{i\theta} = \overline{\beta} e^{i\theta} e^{i\theta} = \overline{\beta} e^{2i\theta} = \overline{\beta} (\cos(2\theta) + i\sin(2\theta))$

$\overline{\beta} = -4 - 2i$

$2\theta = \frac{2\pi}{3}$

$\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$, $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\beta' = (-4 - 2i)(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 - 2\sqrt{3}i + i + i^2\sqrt{3} = 2 - \sqrt{3} + i(1 - 2\sqrt{3})$

したがって、$\beta' = 2 - \sqrt{3} + i(1 - 2\sqrt{3})$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha' = 1 - \sqrt{3}i$

(2) $\beta' = 2 - \sqrt{3} + (1 - 2\sqrt{3})i$