次の2つの問題を解きます。 (1) $x^3 = -8$ (2) $x^4 + 5x^2 - 24 = 0$

代数学方程式三次方程式四次方程式複素数因数分解解の公式
2025/7/5

1. 問題の内容

次の2つの問題を解きます。
(1) x3=8x^3 = -8
(2) x4+5x224=0x^4 + 5x^2 - 24 = 0

2. 解き方の手順

(1) x3=8x^3 = -8
x3+8=0x^3 + 8 = 0
(x+2)(x22x+4)=0(x+2)(x^2 - 2x + 4) = 0
よって、x+2=0x+2 = 0 または x22x+4=0x^2 - 2x + 4 = 0
x+2=0x+2 = 0 より、x=2x = -2
x22x+4=0x^2 - 2x + 4 = 0 を解の公式を使って解くと、
x=(2)±(2)24(1)(4)2(1)x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)}
x=2±4162x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2}
x=2±122x = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2}
x=2±2i32x = \frac{2 \pm 2i\sqrt{3}}{2}
x=1±i3x = 1 \pm i\sqrt{3}
(2) x4+5x224=0x^4 + 5x^2 - 24 = 0
x2=yx^2 = y とおくと、
y2+5y24=0y^2 + 5y - 24 = 0
(y+8)(y3)=0(y+8)(y-3) = 0
よって、y+8=0y+8=0 または y3=0y-3=0
y+8=0y+8=0 より、y=8y=-8
x2=8x^2 = -8
x=±8=±2i2x = \pm \sqrt{-8} = \pm 2i\sqrt{2}
y3=0y-3=0 より、y=3y=3
x2=3x^2 = 3
x=±3x = \pm \sqrt{3}

3. 最終的な答え

(1) x=2,1±i3x = -2, 1 \pm i\sqrt{3}
(2) x=±3,±2i2x = \pm \sqrt{3}, \pm 2i\sqrt{2}