複素数 $\alpha$ は方程式 $z^5 = 1$ の1でない解である。 (1) $1 + \alpha + \alpha^2 + \alpha^3 + \alpha^4$ の値を求めよ。 (2) $t = \alpha + \frac{1}{\alpha}$ とするとき、$t^2 + t - 1 = 0$ であることを示せ。 (3) $\cos\frac{4}{5}\pi$ の値を求めよ。

## 回答

1. 問題の内容

複素数 $\alpha$ は方程式 $z^5 = 1$ の1でない解である。

(1) $1 + \alpha + \alpha^2 + \alpha^3 + \alpha^4$ の値を求めよ。

(2) $t = \alpha + \frac{1}{\alpha}$ とするとき、$t^2 + t - 1 = 0$ であることを示せ。

(3) $\cos\frac{4}{5}\pi$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\alpha$ は $z^5 = 1$ の解なので、$\alpha^5 = 1$ である。また、$\alpha \neq 1$ である。等比数列の和の公式を用いると、

$1 + \alpha + \alpha^2 + \alpha^3 + \alpha^4 = \frac{1 - \alpha^5}{1 - \alpha} = \frac{1 - 1}{1 - \alpha} = 0$

(2) $t = \alpha + \frac{1}{\alpha}$ であるから、

$t^2 = (\alpha + \frac{1}{\alpha})^2 = \alpha^2 + 2 + \frac{1}{\alpha^2}$

$t^2 + t - 1 = \alpha^2 + 2 + \frac{1}{\alpha^2} + \alpha + \frac{1}{\alpha} - 1 = \alpha^2 + \alpha + 1 + \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha^2}$

$\alpha^5 = 1$ より、$\frac{1}{\alpha} = \alpha^4$ かつ $\frac{1}{\alpha^2} = \alpha^3$ なので、

$t^2 + t - 1 = \alpha^2 + \alpha + 1 + \alpha^4 + \alpha^3 = 1 + \alpha + \alpha^2 + \alpha^3 + \alpha^4 = 0$

(3) $\alpha = \cos\frac{2\pi}{5} + i\sin\frac{2\pi}{5}$ とおく。

$\frac{1}{\alpha} = \cos\frac{2\pi}{5} - i\sin\frac{2\pi}{5}$ である。

よって $t = \alpha + \frac{1}{\alpha} = 2\cos\frac{2\pi}{5}$ となる。

(2)より、$t^2 + t - 1 = 0$ なので、

$t = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$t = 2\cos\frac{2\pi}{5}$ であり、$\frac{2\pi}{5} \in (0, \frac{\pi}{2})$ なので、$\cos\frac{2\pi}{5} > 0$ である。したがって、$t > 0$ でなければならない。

$t = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

$\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4}$

$\cos\frac{4\pi}{5} = 2\cos^2\frac{2\pi}{5} - 1 = 2(\frac{-1 + \sqrt{5}}{4})^2 - 1$

$= 2(\frac{1 - 2\sqrt{5} + 5}{16}) - 1 = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{8} - 1 = \frac{3 - \sqrt{5}}{4} - 1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 証明済み

(3) $\cos\frac{4}{5}\pi = \frac{-1 - \sqrt{5}}{4}$