初項 $2^{n-1}$、公差 1、項数 $2^{n-1}$ の等差数列の和 $S$ を求め、与えられた式が成り立つことを確認する問題です。 与えられた式は以下の通りです。 $S = \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} \{ 2 \cdot 2^{n-1} + (2^{n-1} - 1) \cdot 1 \}$ $S = 2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1)$

1. 問題の内容

初項 $2^{n-1}$、公差 1、項数 $2^{n-1}$ の等差数列の和 $S$ を求め、与えられた式が成り立つことを確認する問題です。 与えられた式は以下の通りです。

$S = \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} \{ 2 \cdot 2^{n-1} + (2^{n-1} - 1) \cdot 1 \}$

$S = 2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1)$

2. 解き方の手順

等差数列の和の公式を用いて $S$ を計算し、与えられた式が正しいことを示します。等差数列の和の公式は以下の通りです。

$S = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)$

ここで、$n$ は項数、$a$ は初項、$d$ は公差です。問題文より、$n = 2^{n-1}$、$a = 2^{n-1}$、$d = 1$ なので、これらの値を公式に代入します。

$S = \frac{2^{n-1}}{2} (2 \cdot 2^{n-1} + (2^{n-1} - 1) \cdot 1)$

$S = 2^{n-2} (2 \cdot 2^{n-1} + 2^{n-1} - 1)$

$S = 2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1)$

したがって、与えられた式は正しいことが確認できました。

3. 最終的な答え

$S = 2^{n-2} (3 \cdot 2^{n-1} - 1)$