$A = \begin{bmatrix} t+1 & 1 \\ 1 & t+1 \end{bmatrix}$ (ただし $t$ は実数) とする。連立一次方程式 $Ax = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ が解をもつための条件、およびそのときの解 $x$ を求めよ。

1. 問題の内容

$A = \begin{bmatrix} t+1 & 1 \\ 1 & t+1 \end{bmatrix}$ (ただし $t$ は実数) とする。連立一次方程式 $Ax = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ が解をもつための条件、およびそのときの解 $x$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ とすると、$Ax = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ は次の連立一次方程式に書き換えられる：

$$(t+1)x_1 + x_2 = 1$$

$$x_1 + (t+1)x_2 = 1$$

この連立一次方程式を行列で表現すると、

$\begin{bmatrix} t+1 & 1 \\ 1 & t+1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

である。

まず、拡大係数行列を作成する。

$\begin{bmatrix} t+1 & 1 & 1 \\ 1 & t+1 & 1 \end{bmatrix}$

次に、この行列を簡約化する。

1行目と2行目を入れ替える：

$\begin{bmatrix} 1 & t+1 & 1 \\ t+1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

2行目から1行目の$(t+1)$倍を引く：

$\begin{bmatrix} 1 & t+1 & 1 \\ 0 & 1-(t+1)^2 & 1-(t+1) \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & t+1 & 1 \\ 0 & 1-(t^2+2t+1) & -t \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & t+1 & 1 \\ 0 & -t(t+2) & -t \end{bmatrix}$

$t=0$ のとき、$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ となる。このとき、$x_1 + x_2 = 1$。よって、$x_1 = 1-x_2$。

解は $x = \begin{bmatrix} 1-x_2 \\ x_2 \end{bmatrix}$ ( $x_2$ は任意の実数) となる。

$t \neq 0$ のとき、2行目を $-t$ で割る：

$\begin{bmatrix} 1 & t+1 & 1 \\ 0 & t+2 & 1 \end{bmatrix}$

$t = -2$ のとき、$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ となる。このとき、解は存在しない。

$t \neq -2$ のとき、

$\begin{bmatrix} 1 & t+1 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{1}{t+2} \end{bmatrix}$

1行目から2行目の$(t+1)$倍を引く：

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 - \frac{t+1}{t+2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{t+2} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{t+2-t-1}{t+2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{t+2} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{t+2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{t+2} \end{bmatrix}$

したがって、$x_1 = \frac{1}{t+2}$, $x_2 = \frac{1}{t+2}$.

解は $x = \begin{bmatrix} \frac{1}{t+2} \\ \frac{1}{t+2} \end{bmatrix}$ となる。

まとめると、

$t=0$のとき、$x = \begin{bmatrix} 1-x_2 \\ x_2 \end{bmatrix}$ ($x_2$ は任意の実数)

$t=-2$のとき、解なし

$t \neq 0, t \neq -2$のとき、$x = \begin{bmatrix} \frac{1}{t+2} \\ \frac{1}{t+2} \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

- $t = 0$ のとき、解は $x = \begin{bmatrix} 1-x_2 \\ x_2 \end{bmatrix}$ ($x_2$ は任意の実数)

- $t = -2$ のとき、解なし

- $t \neq 0$ かつ $t \neq -2$ のとき、解は $x = \begin{bmatrix} \frac{1}{t+2} \\ \frac{1}{t+2} \end{bmatrix}$