シュワルツの不等式 $|(a, b)| \le ||a|| ||b||$ を証明する問題です。ここで、$(a, b)$ はベクトル $a$ と $b$ の内積を表し、$||a||$ はベクトル $a$ のノルムを表します。

1. 問題の内容

シュワルツの不等式 $|(a, b)| \le ||a|| ||b||$ を証明する問題です。ここで、$(a, b)$ はベクトル $a$ と $b$ の内積を表し、$||a||$ はベクトル $a$ のノルムを表します。

2. 解き方の手順

シュワルツの不等式を証明するために、以下の手順を使用します。

まず、$b = 0$ の場合を考えます。このとき、$(a, b) = 0$ かつ $||b|| = 0$ であるため、$|(a, b)| = 0 \le ||a|| ||b|| = 0$ が成り立ち、不等式は成立します。

次に、$b \neq 0$ の場合を考えます。任意の実数 $t$ に対して、以下の不等式が成立します。

$||a - tb||^2 \ge 0$

ノルムの定義から、

$||a - tb||^2 = (a - tb, a - tb) = (a, a) - 2t(a, b) + t^2(b, b) = ||a||^2 - 2t(a, b) + t^2||b||^2$

したがって、

$||a||^2 - 2t(a, b) + t^2||b||^2 \ge 0$

この式は、任意の実数 $t$ に対して成立する2次不等式です。特に、$t = \frac{(a, b)}{||b||^2}$ を代入すると、

$||a||^2 - 2\frac{(a, b)}{||b||^2}(a, b) + (\frac{(a, b)}{||b||^2})^2||b||^2 \ge 0$

$||a||^2 - 2\frac{(a, b)^2}{||b||^2} + \frac{(a, b)^2}{||b||^4}||b||^2 \ge 0$

$||a||^2 - \frac{(a, b)^2}{||b||^2} \ge 0$

$\frac{(a, b)^2}{||b||^2} \le ||a||^2$

$(a, b)^2 \le ||a||^2 ||b||^2$

両辺の平方根を取ると、

$|(a, b)| \le ||a|| ||b||$

3. 最終的な答え

シュワルツの不等式: $|(a, b)| \le ||a|| ||b||$ が証明されました。