ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ に対して、不等式 $\lVert \mathbf{a} - \mathbf{b} \rVert \ge |\lVert \mathbf{a} \rVert - \lVert \mathbf{b} \rVert|$ を示す問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ に対して、不等式 $\lVert \mathbf{a} - \mathbf{b} \rVert \ge |\lVert \mathbf{a} \rVert - \lVert \mathbf{b} \rVert|$ を示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角不等式を利用します。

$\mathbf{a} = (\mathbf{a} - \mathbf{b}) + \mathbf{b}$ と変形できるので、

$\lVert \mathbf{a} \rVert = \lVert (\mathbf{a} - \mathbf{b}) + \mathbf{b} \rVert$

三角不等式より

$\lVert (\mathbf{a} - \mathbf{b}) + \mathbf{b} \rVert \le \lVert \mathbf{a} - \mathbf{b} \rVert + \lVert \mathbf{b} \rVert$

したがって、

$\lVert \mathbf{a} \rVert \le \lVert \mathbf{a} - \mathbf{b} \rVert + \lVert \mathbf{b} \rVert$

$\lVert \mathbf{a} \rVert - \lVert \mathbf{b} \rVert \le \lVert \mathbf{a} - \mathbf{b} \rVert$ ...(1)

次に、$\mathbf{b} = (\mathbf{b} - \mathbf{a}) + \mathbf{a}$ と変形します。

$\lVert \mathbf{b} \rVert = \lVert (\mathbf{b} - \mathbf{a}) + \mathbf{a} \rVert$

三角不等式より

$\lVert (\mathbf{b} - \mathbf{a}) + \mathbf{a} \rVert \le \lVert \mathbf{b} - \mathbf{a} \rVert + \lVert \mathbf{a} \rVert$

$\lVert \mathbf{b} \rVert \le \lVert \mathbf{b} - \mathbf{a} \rVert + \lVert \mathbf{a} \rVert$

$\lVert \mathbf{b} \rVert - \lVert \mathbf{a} \rVert \le \lVert \mathbf{b} - \mathbf{a} \rVert$

ここで、$\lVert \mathbf{b} - \mathbf{a} \rVert = \lVert -(\mathbf{a} - \mathbf{b}) \rVert = \lVert \mathbf{a} - \mathbf{b} \rVert$ より

$\lVert \mathbf{b} \rVert - \lVert \mathbf{a} \rVert \le \lVert \mathbf{a} - \mathbf{b} \rVert$

$-\lVert \mathbf{a} \rVert + \lVert \mathbf{b} \rVert \le \lVert \mathbf{a} - \mathbf{b} \rVert$

$-(\lVert \mathbf{a} \rVert - \lVert \mathbf{b} \rVert) \le \lVert \mathbf{a} - \mathbf{b} \rVert$ ...(2)

(1)と(2)より

$\lVert \mathbf{a} \rVert - \lVert \mathbf{b} \rVert \le \lVert \mathbf{a} - \mathbf{b} \rVert$

$-(\lVert \mathbf{a} \rVert - \lVert \mathbf{b} \rVert) \le \lVert \mathbf{a} - \mathbf{b} \rVert$

したがって、

$|\lVert \mathbf{a} \rVert - \lVert \mathbf{b} \rVert| \le \lVert \mathbf{a} - \mathbf{b} \rVert$

$\lVert \mathbf{a} - \mathbf{b} \rVert \ge |\lVert \mathbf{a} \rVert - \lVert \mathbf{b} \rVert|$

3. 最終的な答え

$\lVert \mathbf{a} - \mathbf{b} \rVert \ge |\lVert \mathbf{a} \rVert - \lVert \mathbf{b} \rVert|$