## 問題7

## 問題7

1辺の長さが $(\sqrt{5}-1)$ である正五角形の対角線の長さを求めよ。

## 解き方の手順

1. 正五角形の対角線の長さと辺の長さの比は黄金比であることが知られています。黄金比は $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ です。

2. したがって、対角線の長さは辺の長さに黄金比をかけたものになります。

3. 辺の長さ $(\sqrt{5}-1)$ に黄金比 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{5}-1}{1} \times \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{2}$

4. 分子を計算します。

$(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1) = (\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4$

5. 対角線の長さは $\frac{4}{2} = 2$ となります。

## 最終的な答え

2

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## 問題8

$a < b < c$ のとき、方程式 $(x-a)(x-c) + (x-b)^2 = 0$ は異なる2つの実数解をもつことを示し、その解と定数 $a, b, c$ との大小関係を調べよ。

## 解き方の手順

1. 与えられた方程式を展開します。

$(x-a)(x-c) + (x-b)^2 = x^2 - (a+c)x + ac + x^2 - 2bx + b^2 = 2x^2 - (a+c+2b)x + ac + b^2 = 0$

2. この2次方程式が異なる2つの実数解を持つことを示すために、判別式 $D$ を計算します。

$D = (a+c+2b)^2 - 4(2)(ac+b^2) = (a+c)^2 + 4b^2 + 4b(a+c) - 8ac - 8b^2$

$D = a^2 + 2ac + c^2 + 4ab + 4bc - 8ac - 4b^2 = a^2 + c^2 - 6ac + 4ab + 4bc - 4b^2$

$D = a^2 + c^2 - 2ac - 4ac + 4ab + 4bc - 4b^2 = (a-c)^2 + 4b(a+c - b) - 4ac$

3. ここで、判別式を次のように変形します。

$D = (a-c)^2 + 4b(a+c-2b) + 4b^2-4b^2 - 4ac = (a-c)^2 -4(b-a)(c-b)$

4. 問題文より $a < b < c$ であるから、$b-a > 0$ かつ $c-b > 0$ となります。したがって、$(b-a)(c-b) > 0$ となります。

また、$a < c$ より、$(a-c)^2 > 0$ である。

$D = (a+c)^2 + 4b^2 + 4(a+c)b - 8ac -8b^2= a^2+c^2+2ac +4b(a+c)-4b^2-8ac= a^2+c^2-6ac+4b(a+c)-4b^2=(c-a)^2 -4b^2 + 4b(a+c) -4ac= (c-a)^2 -4(b^2 - b(a+c)+ac) = (c-a)^2 -4(b-a)(b-c)$

$a<b<c$より、$b-a>0$かつ$b-c<0$なので、$-4(b-a)(b-c)>0$

$(c-a)^2>0$なので、$D>0$となる。

よって、方程式は異なる二つの実数解を持つ。

5. 解を $\alpha$, $\beta$ ($\alpha < \beta$) とすると、解の公式より

$x = \frac{(a+c+2b) \pm \sqrt{(a-c)^2-4(b-a)(b-c)}}{4}$

$2x = \frac{(a+c+2b) \pm \sqrt{a^2 + 2ac + c^2 + 4(a+c)b - 4b^2 - 8ac}}{2}$

6. 解の大小関係を調べます。

$f(x) = (x-a)(x-c) + (x-b)^2 = 0$とする.

$f(a) = (a-b)^2>0, f(b) = (b-a)(b-c) < 0, f(c) = (c-b)^2 >0$

よって解は、$a < \alpha < b < \beta < c$.

## 最終的な答え

方程式 $(x-a)(x-c) + (x-b)^2 = 0$ は異なる2つの実数解を持つ。解を $\alpha, \beta$ （$\alpha < \beta$）とすると、$a < \alpha < b < \beta < c$。