$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$, $y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ のとき、次の式の値を求めよ。 (1) $x^3y + xy^3$ (2) $4x^2 + 7xy + 4y^2$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$, $y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $x^3y + xy^3$

(2) $4x^2 + 7xy + 4y^2$

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ有理化する。

$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$

$y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3-2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$

次に、$x+y$ と $xy$ を計算する。

$x+y = (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4$

$xy = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$

(1) $x^3y + xy^3 = xy(x^2+y^2) = xy((x+y)^2 - 2xy) = 1(4^2 - 2(1)) = 16 - 2 = 14$

(2) $4x^2 + 7xy + 4y^2 = 4(x^2+y^2) + 7xy = 4((x+y)^2-2xy) + 7xy = 4((4)^2 - 2(1)) + 7(1) = 4(16-2) + 7 = 4(14) + 7 = 56+7 = 63$

3. 最終的な答え

(1) $x^3y + xy^3 = 14$

(2) $4x^2 + 7xy + 4y^2 = 63$