$x^2 + y^2 = 4$ のとき、$ax + y^2$ の最大値と最小値を求める。ただし、$a$は定数とする。

1. 問題の内容

$x^2 + y^2 = 4$ のとき、$ax + y^2$ の最大値と最小値を求める。ただし、$a$は定数とする。

2. 解き方の手順

$x^2 + y^2 = 4$ より、$y^2 = 4 - x^2$ である。

したがって、

$ax + y^2 = ax + 4 - x^2 = -x^2 + ax + 4$

$f(x) = -x^2 + ax + 4$ とおく。

$x^2 + y^2 = 4$ より、$-2 \le x \le 2$ である。

$f(x) = -(x^2 - ax) + 4 = -(x^2 - ax + \frac{a^2}{4}) + \frac{a^2}{4} + 4 = -(x - \frac{a}{2})^2 + \frac{a^2}{4} + 4$

よって、$f(x)$ は $x = \frac{a}{2}$ で最大値 $\frac{a^2}{4} + 4$ をとる。

ただし、$-2 \le \frac{a}{2} \le 2$ すなわち $-4 \le a \le 4$ のとき。

(i) $-4 \le a \le 4$ のとき

$f(x)$ の最大値は $\frac{a^2}{4} + 4$ である。

$x = -2$ のとき、$f(-2) = -4 - 2a + 4 = -2a$

$x = 2$ のとき、$f(2) = -4 + 2a + 4 = 2a$

$f(x)$ の最小値は、$x = -2$ のとき $-2a$、$x=2$ のとき $2a$ の小さい方。すなわち、

$a \ge 0$ のとき、最小値は $-2a$

$a < 0$ のとき、最小値は $2a$

最小値は $-2|a|$ である。

(ii) $a < -4$ のとき

$-2 > \frac{a}{2}$ より、$-2 \le x \le 2$ において、$x=2$ で最大値をとり、 $x=-2$ で最小値をとる。

最大値は $f(2) = 2a$

最小値は $f(-2) = -2a$

(iii) $a > 4$ のとき

$2 < \frac{a}{2}$ より、$-2 \le x \le 2$ において、$x=-2$ で最大値をとり、$x=2$ で最小値をとる。

最大値は $f(-2) = -2a$

最小値は $f(2) = 2a$

まとめると

-4 <= a <= 4 のとき

最大値: $\frac{a^2}{4} + 4$

最小値: $-2|a|$

a < -4 のとき

最大値: $2a$

最小値: $-2a$

a > 4 のとき

最大値: $-2a$

最小値: $2a$

3. 最終的な答え

-4 <= a <= 4 のとき

最大値: $\frac{a^2}{4} + 4$

最小値: $-2|a|$

a < -4 のとき

最大値: $2a$

最小値: $-2a$

a > 4 のとき

最大値: $-2a$

最小値: $2a$